Pöörlemisliikumine – probleemid ja lahendused

Pöörlemisliikumine – probleemid ja lahendused

Pöördemoment

1. 140 cm pikkune tala. Talale mõjuvad kolm jõudu: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N ja F3 ₌ 40 N, mille suund ja asend on näidatud alloleval joonisel. Milline pöördemoment paneb tala pöörlema ​​ümber oma massikeskme?

Tuntud:

Massikeskus asub tala keskel.

Tala pikkus (l) = 140 cm = 1.4 meetrit

Jõud 1 (F1 ₎ = 20 N, kangivars 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 meetrit

Jõud 2 (F2 ₎ = 10 N, kangivars 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meetrit

Jõud 3 (F3 ₎ = 40 N, kangivars 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 meetrit

Otsitakse: pöördemomendi suurust

lahendus:

Pöördemoment 1 pöörab tala päripäeva, seega on pöördemomendile 1 omistatud negatiivne märk.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Pöördemoment 2 pöörab tala vastupäeva, andes seega pöördemomendile 2 positiivse märgi.

τ² ₌ F²l² = ( _{10⁻⁸N )} (0.3 m ) = 3 Nm

Pöördemoment 3 pöörab tala päripäeva, seega on pöördemomendile 3 omistatud positiivne märk.

τ³ ₌ F³l³ = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Neto pöördemoment:

Στ = –14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = –39 Nm

Pöördemomendi suurus on 39 Nm. Tala pöörlemissuund on päripäeva, seega on sellele määratud negatiivne märk.

2. Milline on netomoment, mis mõjub talale? Pöörlemisteljele punktis D. (sin 53 ⁰ = 0.8)

Tuntud:

Pöörlemistelg punktis D

F ₁ = 10 N ja l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm) (sin 53 ^o ) = (0.4 m) (0.8) = 0.32 meetrit

F ₂ = 10√2 N ja l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm) (sin 45 ^o ) = (0.2 m) (0.5 √2) = 0.1 √2 meetrit

F ₃ = 20 N ja l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm) (sin 90 ^o ) = (0.1 m) (1) = 0.1 meetrit

Otsitakse: netomomenti

lahendus:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Pöördemoment 1 pöörab tala vastupäeva, seega omistame pöördemomendile 1 positiivse märgi)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N) (0.1√2 m) = -2 Nm

(Pöördemoment 2 pöörab tala päripäeva, seega omistame pöördemomendile 2 negatiivse märgi)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Pöördemoment 3 pöörab tala vastupäeva, seega omistame pöördemomendile 3 positiivse märgi)

Neto pöördemoment:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Milline on netopöördemoment, kui pöörlemistelg punktis D on . (sin 53 ^o = 0.8)

Tuntud:

Pöörlemistelg punktis D.

Pöörlemistelje ja F1 vaheline kaugus (r _AD ) = ₄₀ cm = 0.4 m

Pöörlemistelje ja F2 vaheline kaugus (rBD ₎ = ₂₀ cm = 0.2 m

Pöörlemistelje ja F3 vaheline kaugus (r _CD ) ₌ 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ njuutonit

F2 = 10√2 _njuutonit

F3 = ₂₀ njuutonit

Sin 53 ^o = 0.8

Otsitakse: netomomenti

lahendus:

Jõumoment 1

Στ ₁ = (F ₁ ) (r _AD sin 53 ^o ) = (10 N) (0.4 m) (0.8) = 3.2 Nm

(Pöördemoment 1 pöörab tala vastupäeva, seega omistame pöördemomendile 1 positiivse märgi)

Jõumoment 2

Στ ₂ = (F ₂ ) (r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N) (0.2 m) (0.5√2) = -2 Nm

(Pöördemoment 2 pöörab tala päripäeva, seega omistame pöördemomendile 2 negatiivse märgi)

Jõumoment 3

Στ ₃ = (F ₃ ) (r _CD sin 90 ^o ) = (20 N) (0.1 m) (1) = 2 Nm

(Pöördemoment 2 pöörab tala vastupäeva, seega omistame pöördemomendile 3 positiivse märgi)

Neto pöördemoment:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 njuutonmeetrit

Inertsimoment

4. Traadi pikkus = 12 m, l1 ₌ 4 m. Traadi massi eirata. Milline on süsteemi inertsimoment ?

Tuntud:

A mass (m _A ) = 0.2 kg

B mass (m²/ _{2 B} ) = 0.6 kg

Pöörlemistelje ja punkti A vaheline kaugus (r _A ) = 4 meetrit

Pöörlemistelje ja punkti B vaheline kaugus (r/ _B ) = 12 – 4 = 8 meetrit

Otsitakse: süsteemi inertsimomenti

lahendus:

A inertsimoment

I _A = (m _A ) (r _A ² ) = (0.2) (4) ² = (0.2) (16) = 3.2 kg m ²

B inertsimoment

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Süsteemi inertsimoment:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Pöörlemisdünaamika

5. Massiga M = 5 kg ja raadiusega R = 20 cm rihmaratta ümber mähitud nöörile rakendatakse 6 N jõudu. Milline on rihmaratta nurkkiirendus? Rihmaratas on ühtlase kujuga silinder.

Tuntud:

Jõud (F) = 6 njuutonit

Mass (M) = 5 kg

Raadius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Otsitakse: Nurkkiirendus (α)

lahendus:

Jõu moment:

τ = FR = (6 njuutonit) (0.2 meetrit) = 1.2 N m

Tahke silindri inertsimoment:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

Ma = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Nurkkiirendus:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Klotsi mass = 4 kg ripub nööri küljes, mis on mähitud 8 kg massiga ja 10 cm raadiusega plokiratta ümber. Raskuskiirendus on 10 ms ^-2 . Milline on klotsi lineaarkiirendus? Plokk on ühtlane tahke silinder.

Tuntud:

Rihmaratta mass (m) = 8 kg

Rihmaratta raadius (r) = 10 cm = 0.1 m

Ploki mass (m) = 4 kg

Raskuskiirendus (g) = 10 m/ ^s²

Kaal (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 njuutonit

Otsitakse: ploki vabalangemise kiirendust

lahendus:

Tahke silindri inertsimoment:

I = 1/2 MR² ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ^² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Jõu moment:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Nurkkiirendus:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Lineaarne kiirendus:

a = r α = (0.1) (100) = 10 m/s ²

7. Plokk massiga m ripub plokiratta ümber mähitud nööri küljes. Kui klotsi vabalangemise kiirendus on am/ ^s² , siis milline on ploki inertsimoment?

Tuntud:

kaal = w = mg

Kangivars = R

Nurkkiirendus = α

Klotsi vabalangemise kiirendus = a ms ^-2

Otsitakse: rihmaratta inertsimomenti (I)

lahendus:

Lineaarkiirenduse ja nurkkiirenduse vaheline seos:

a = Rα

α = a / R

Inertsimoment:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ Ra ^-1

Nurkmoment

8. 0.2-grammine osake liigub ringis konstantse kiirusega 10 m/s. Ringi raadius on 3 cm. Milline on osakese impulsimoment?

Tuntud:

Osakese mass (m) = 0.2 grammi = 2 x ^10⁻⁴ kg

Nurkkiirus (ω) = 10 rad s ^-1

Raadius (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² meetrit

Otsitakse: osakese impulsimomenti

lahendus:

Nurkmomendi võrrand:

L = Iω

I = nurkmoment, I = inertsimoment, ω = nurkkiirus

Inertsimoment (osakeste puhul):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁸

Nurkmoment:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁸ )(10 rad ^{s⁻¹ )} = 18 x ^10⁻⁸ kg ^m² s⁻¹

1. Mis on pöörlev liikumine?
   • VastusPöörlemisliikumine viitab objekti liikumisele ümber fikseeritud telje. See on liikumise liik, mille puhul objekti iga punkt liigub ringikujuliselt ümber telje.
2. Kuidas on lineaarkiirus seotud nurkkiirusega pöörlemisliikumisel?
   • VastusLineaarkiirus ($v$) pöörleva objekti punkti kaugusest on otseselt proportsionaalne selle kaugusega ($r$) pöörlemisteljest ja nurkkiirusest ($\omega$) objektist. Seos on antud järgmiselt: $v=r\cdot \omega$.
3. Mis on inertsimoment ja kuidas see on seotud pöörleva liikumisega?
   • VastusInertsimoment on massi pöörlemisanaloog lineaarses liikumises. See mõõdab objekti vastupanuvõimet pöörlemisoleku muutustele. Inertsimoment sõltub nii objekti massist kui ka selle jaotusest pöörlemistelje suhtes.
4. Kuidas Newtoni esimene liikumisseadus kehtib pöörleva liikumise kohta?
   • VastusNii nagu lineaarselt liikuv objekt püsib liikumises, kui talle ei mõju väline jõud, püsib pöörlevas liikumises olev objekt selles olekus, kui talle ei mõju väline pöördemoment.
5. Mis on güratsiooniraadiuse tähtsus?
   • VastusGüratsiooniraadius näitab objekti massi jaotust pöörlemisteljest eemale. See kirjeldab sisuliselt seda, kui kaugele teljest peaks kogu objekti mass olema koondunud, et selle inertsimoment oleks sama kui algsel jaotusel.
6. Mis on impulsimoment ja kuidas see säilib?
   • VastusNurkmoment on lineaarse impulsi pöörlemisekvivalent. See on objekti inertsimomendi ja nurkkiiruse korrutis. Suletud süsteemis jääb kogunurkmoment konstantseks, kui seda ei mõjuta väline pöördemoment, mis rõhutab nurkmomendi jäävuse põhimõtet.
7. Kuidas pöördemoment mõjutab pöörlemisliikumist?
   • VastusPöördemoment on jõu pöörlemisekvivalent. See põhjustab muutusi objekti pöörlemisliikumises. Seose annab Newtoni teine ​​pöörlemisseadus: $\tau =I\cdot \alpha$, Kus $\tau$ on pöördemoment, $I$ on inertsimoment ja $\alpha$ on nurkkiirendus.
8. Kuidas erineb massikeskus pöörlemiskeskmest?
   • VastusKuigi need võivad kokku langeda, on massikese punkt, kuhu kogu objekti mass lineaarse liikumise arvutuste eesmärgil koondunud, samas kui pöörlemiskese on punkt (või telg), mille ümber objekt pöörleb.
9. Milline on tsentripetaaljõu roll pöörlemisliikumises?
   • VastusTsentripetaaljõud on netojõud, mis mõjub ringikujuliselt liikuvale objektile, mis on suunatud pöörlemiskeskme poole. See vastutab objekti hoidmise eest selle kõveral trajektooril ja takistab selle liikumist sirgjooneliselt inertsi tõttu.

10. Kuidas on pöörlemiskineetiline energia seotud inertsimomendi ja nurkkiirusega?

    • VastusPöörlemiskineetiline energia on energia, mis tekib keha pöörlemisel ümber telje. See arvutatakse järgmise valemiga: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Kus $I$ on inertsimoment ja $\omega$ on nurkkiirus.