Osakeste inertsimoment – probleemid ja lahendused

1. Kaks palli on ühendatud vardaga, nagu on näidatud alloleval joonisel. Ärge arvestage varda massiga . Palli P mass on 600 grammi ja palli Q mass on 400 grammi. Milline on süsteemi inertsimoment telje AB suhtes?

Tuntud:

Pöörlemistelg on AB. Osakeste inertsimoment – probleemid ja lahendused 1

m _p = 600 grammi = 0.6 kg, m _q = 400 grammi = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Otsitakse: süsteemi inertsimomenti

lahendus:

I = m/ _pr /rp² + m ^/_q^/_r / _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. 2 kg massiga varras telje AB suhtes on pööratud ümber punkti A ja varda inertsimoment on 8 kg m² ^. Kui varras on pööratud ümber punkti O (AO = OB), siis milline on varda inertsimoment?

Tuntud: Osakeste inertsimoment – probleemid ja lahendused 2

Varda AB mass (m) = 2 kg

Kui pöörata punkti A ümber nii, et pöörlemisraadius (r) = AB pikkus = r, siis inertsimoment (I) = 8 kg m ²

Otsitakse: Kui varda pöörata ümber punkti O nii, et pöörlemisraadius (r) = punkti AO pikkus = punkti OB pikkus = 1/2 r, siis milline on varda inertsimoment?

lahendus:

Mina = Härra ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^m² / ²

r² = ⁴^m²

r = 2 meetrit

Kui pöörata ümber punkti O nii, et ½ r = 1 meeter, siis inertsimoment:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m ) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Kaks palli on ühendatud vardaga, nagu on näidatud alloleval joonisel. Varda massi ei arvestata. Milline on süsteemi inertsimoment?

Tuntud:

Palli A mass (m_A) = 200 grammi = 0.2 kg Osakeste inertsimoment – probleemid ja lahendused 3

Palli B mass (m²/ ₄₀₀ g = 0.4 kg

Kuuli A ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r _A ) = 0

Kuuli B ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Otsitakse: süsteemi inertsimomenti

lahendus:

Palli A inertsimoment:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Palli B inertsimoment:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Süsteemi inertsimoment:

I = _IA + _IB = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Neli erineva massiga osakest, nagu on näidatud alloleval joonisel. Määrake süsteemi inertsimoment horisontaalse joone P suhtes.

Lahendus

Pöörlemistelg on horisontaaljoon P.

Tuntud: Osakeste inertsimoment – probleemid ja lahendused 4

Osakese A mass (mA ₎ = m

Osakese B mass (m _B ) = 2m

Osakese C mass (m _C ) = 3m

Osakeste läbilaskvus D (m _D ) = 4m

Osakese A ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r _A ) = b

Osakese B ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r _B ) = b

Osakese C ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r _C ) = 2b

Osakese D ja pöörlemistelje vaheline kaugus (rD ₎ = 2b

Otsitakse: süsteemi inertsimomenti horisontaalse joone P suhtes.

lahendus:

_I = _{mA_r_A_2} + _{mB_r_B_2}⁺ mC_r_C_2 + _{mD_r_D_2}

I = (m) (b) ² + (2 m) (b) ² + (3 m) (2b) ² + (4 m) (2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3 m) (4b ² ) + (4 m) (4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

_{5. Neli osakest on ühendatud vardaga. Varda massi ei pea arvestama. Määrake osakeste m1} ja m2 _{inertsimoment} pöörlemistelje ümber , nagu on näidatud alloleval joonisel.

Teatud

Osakese 1 mass (m₁) = 1/4 kg Osakeste inertsimoment – probleemid ja lahendused 5

Osakese 2 mass (m2 ₎ = 1/2 kg

Osakese 3 mass (m3 ₎ = 1/4 kg

Osakese 4 mass (m4 ₎ = 1/4 kg

Osakese 1 ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r1 ₎ = 0

Osakese 2 ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r2 ₎ = 0

Osakese 3 ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r ₃ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Osakese 4 ja pöörlemistelje vaheline kaugus (r ₄ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Otsitakse: inertsimomenti

lahendus:

I = _m1/_r1 / ² + m2/ _r2 / ²₊ m3/ _r3 / ²₊ m4 _/ r4 _/²

Mina = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

Mina = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Mina = 1/400 + 1/400

Mina = 2/400

I = 1/200 kg· ^m²

Milline on osakese inertsimoment?
- VastusÜksiku massiosakese jaoks $m$ kaugusel $r$ pöörlemisteljest, selle inertsimoment $I$ annab $I = m \times r^{2}$ .
Miks nimetatakse inertsimomenti sageli massi "pöörlemisanaloogiks"?
- VastusNii nagu mass on objekti vastupanu mõõt selle translatsioonilise liikumise muutustele (Newtoni teise seaduse tõttu), on inertsimoment objekti vastupanu mõõt selle pöörlemisliikumise muutustele.
Kuidas mõjutab osakese kauguse muutmine tema pöörlemisteljest tema inertsimomenti?
- VastusInertsimoment on võrdeline pöörlemisteljest kauguse ruuduga. Kui kaugust kahekordistada, suureneb inertsimoment neljakordselt.
Miks on kauguse ruut (r²) kasutatakse inertsimomendi valemis ainult kauguse asemel?
- VastusPöörlemise kineetilise energia toimimispõhimõtte tõttu kasutatakse kauguse ruutu. Pöörlemisliikumises panustab iga osake pöörlemise kineetilisesse energiasse nii oma massi kui ka kauguse ruudust põhjal.
Kuidas muutub osakese inertsimoment, kui selle mass kolmekordistub, samal ajal kui kaugus teljest jääb konstantseks?
- VastusKui massi kolmekordistada ja kaugust hoida konstantsena, siis inertsimoment kolmekordistub, kuna see on otseselt võrdeline massiga.
Kas osakese inertsimoment saab olla null? Kui jah, siis millistel tingimustel?
- VastusJah, osakese inertsimoment on null, kui see asub otse pöörlemisteljel, mistõttu on selle kaugus $r$ teljest võrdne nulliga.
Miks on sama massi ja suurusega erinevatel objektidel erinevate telgede ümber pöörlemisel erinev inertsimoment?
- VastusMassi jaotus pöörlemistelje ümber määrab inertsimomendi. Isegi kui kahel objektil on sama mass ja suurus, võib nende massi jaotus pöörlemistelje suhtes erineda, mis viib erinevate inertsimomentideni.
Kas inertsimoment on skalaarne või vektoriaalne suurus?
- VastusInertsimoment on skalaarne suurus. Jäikade kehade puhul, millel on keeruline kuju ja mitu pöörlemistelge, esitatakse seda tensoriga.
Kui kaks osakest on massiga $m$ , asuvad vahemaadel $r_{1}$ ja $r_{2}$ Pöörlemisteljest, milline on summaarne inertsimoment?
- VastusInertsimoment on eraldi osakeste jaoks aditiivne. Seega on inertsimomentide summa $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Kuidas on inertsimoment seotud impulsimomendi jäävusega?
- VastusNurkmoment $L$ on inertsimomendi korrutis $I$ ja nurkkiirus $ω$ , mida esindab võrrand $L = I \times ω$ Kui süsteemile ei mõju välised pöördemomendid, jääb nurkmoment konstantseks. See tähendab, et kui inertsimoment muutub (nagu iluuisutaja käsi sisse tõmmates), peab nurkkiirus muutuma, et korrutis püsiks konstantsena.