Inertshetk

1. Osakese inertsimoment

Vaatleme pöörlevat osakest. Massiga m osakesele rakendatakse jõudu F, mille tõttu osake pöörleb ümber telje O. Osakese kaugus pöörlemisteljest on r. Esiteks on osake paigal (v = 0). Pärast liikumist jõuga F liiguvad osakesed teatud kiirusega, mille tulemusel on osakestel tangentsiaalne kiirendus. Jõu (F), massi (m) ja osakeste tangentsiaalse kiirenduse vaheline seos on väljendatud võrrandiga 3:

F = ma _tan (võrrand 3)

Osakesed pöörlevad nii, et neil on nurkkiirendus. Tangentsiaalkiirenduse ja nurkkiirenduse vahelist seost väljendab võrrand 4:

a _tan = r α (võrrand 4)

Asendage võrrandis 3 a väärtusega a võrrandis 4:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr² ⁾ α (võrrand 5)

r F on jõumoment ja mr ² on osakese inertsimoment. Valem 5 näitab pöörlevate osakeste jõumomendi, inertsimomendi ja nurkkiirenduse vahelist seost. Valem 5 on pöörlevate osakeste Newtoni teise seaduse võrrand.

Osakese inertsimoment on osakese massi (m) ja osakeste vahelise kauguse ruudu ( ^r2 ) korrutis pöörlemisteljega .

I = mr² ⁽ võrrand 6)

I = osakese inertsimoment, m = osakese mass, r = osakese ja pöörlemistelje vaheline kaugus. Osakese inertsimomendi määramiseks kasutatakse võrrandit 6.

3.2 Osakese inertsimomendi näidisülesanded

Näidisülesanne 1.

Osake massiga 2 kg seoti 0.5 meetri pikkuse köie külge ja seejärel pöörati. Milline on osakeste inertsimoment pöörlemisel?

Lahendus:

Mina = Härra ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Näidisülesanne 2.

Kaks osakest massiga 2 kg ja 4 kg on ühendatud kerge traadiga, mille pikkus on 2 meetrit. Ärge juhtmete massi arvestage. Määrake kahe osakese inertsimoment, kui:

a) Pöörlemistelg asub kahe osakese vahel

Lahendus:

I = m1 _/ r1 ^/2 ₊ m2 ^/ _r2 / ₂

Mina = (2)(12) + (4)(12)

Mina = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Pöörlemistelg asub 2 kg massiga osakesest 0.5 meetri kaugusel.

I = m1 _/ r1 ^/2 ₊ m2 ^/ _r2 / ₂

Ma = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

Mina = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Mina = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Pöörlemistelg asub osakesest, mille mass on 4 kg, 0.5 meetri kaugusel.

I = m1 _/ r1 ^/2 ₊ m2 ^/ _r2 / ₂

I = (2)(1.52) + (4)( ^0,52 )

Mina = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Mina = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Ülaltoodud arvutuste tulemuste põhjal mõjutab inertsimomenti tugevalt pöörlemistelje asukoht. Kuigi kuju ja suurus on samad, kuna pöörlemistelje asukoht on erinev, on ka inertsimoment erinev.

Pöörlemistelje lähedal asuvatel osakestel on väiksem inertsimoment, samas kui pöörlemisteljest kaugel asuvatel osakestel on inertsimoment suurem. Kui eeldame, et kaks ülaltoodud osakest on jäigad objektid, siis asub kumbki osake pöörlemistelje lähedal.

on inertsimomendi poolest väiksem kui pöörlemisteljest kaugemal asuva osakese inertsimoment.

3.3 Homogeense jäiga keha inertsimoment

Jäigad objektid koosnevad paljudest osakestest. Jäiga keha inertsimoment on iga objekti moodustava osakese inertsimomentide koguarv.

I = Σ ^mr²

Mina = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Jäiga objekti inertsimomendi määramiseks peame vaatama objekti pöörlemise ajal, sest pöörlemistelje asukoht mõjutab objekti inertsimomenti. Iga osakese inertsimoment (I) sõltub ka osakese massist (m) ja osakese kauguse ruudust (r2 ⁾ pöörlemisteljest. Kõigi objekti moodustavate osakeste mass on objekti mass.

Probleem on selles, et iga osakese kaugus pöörlemisteljest on erinev.

Vaadake üle õhukese rõnga inertsimomendi vähenemine valemis sõrmedega R ja massiga M.

Kui pöörlemistelg asub rõnga keskel, asuvad kõik õhukese rõnga osakesed pöörlemisteljest eemal. Õhukese rõnga inertsimoment võrdub kõigi osakeste inertsimomendiga:

I = Σ mr²

Mina = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Kõigi osakeste mass = õhukese rõnga mass (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Õhukese rõnga iga osake on pöörlemisteljest r kaugusel, nii et _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Õhukese rõnga inertsimomendi võrrand:

I = MR ²

I = õhukese rõnga inertsimoment, M = õhukese rõnga mass, R = õhukese rõnga raadius.

Mis saab siis, kui pöörlemistelg ei asu rõnga keskel? Kui pöörlemistelg ei asu rõnga keskel, ei saa õhukese rõnga inertsimomendi valemit ülaltoodud meetodi abil tuletada,

sest iga osakese kaugus pöörlemisteljest on erinev. Sellise probleemi inertsimomendi valemi tuletamist selles teemas ei käsitleta.

Mõnede jäikade objektide inertsimomendi valem

3.4 Homogeense jäiga keha inertsimomendi näidisülesanne

Näidisülesanne 1:

Vardasilindri AB mass on 3 kg, kui seda pöörleb läbi punkti B.

inertsimoment on 27 kg m². Milline ^on inertsimoment, kui

pööratud läbi C?

Lahendus:

Lahendus:

Homogeense tahke varda inertsimomendi valem (pöörlemistelg on varda keskel):

I = 1/12 ml ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Homogeense tahke varda inertsimomendi valem (pöörlemistelg varda serval):

I = 1/3 ml ²

Ma = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²