Nurkmoment

Nurkmoment

Pöörlemisliikumise suurus, mis on lineaarses liikumises identne massiga (m), on inertsimoment (I). Pöörlemisliikumise suurus, mis on lineaarses liikumises identne kiirusega (v), on nurkkiirus (ω). Seega on pöörleval objektil nurkmoment, mida saab arvutada järgmise võrrandi abil:

L = Iω

L = nurkmoment (kg m² ^/ s), I = inertsimoment (kg m² ⁾ , ω = nurkkiirus (rad/s)

Nurkmomendi näidisülesanded

Näidisülesanne 1.

Osake massiga 0.5 grammi liigub ringjoones konstantse nurkkiirusega 2 rad/s. Määrake osakese nurkmoment, kui osakese teekonna raadius on 10 cm.

Lahendus:

Osakese inertsimoment:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻¹ m² ) = 0.5 x ^10⁻¹ kg ^​​m²

Osakese nurkkiirus:

ω = 2 rad/s

Osakese nurdmoment:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ^/ s

Nurkkiiruse jäävuse seadus

Nurkmomendi jäävuse seadus ütleb, et kui jäigale kehale pöörlemisel mõjuv resultantjõumoment on null, siis on jäiga keha pöörlemisel nurkmoment alati konstantne. Nurkmomendi jäävuse seadust saab matemaatiliselt tuletada Newtoni teise nurkmomendi seaduse võrrandit muutes. Siin on Newtoni teise nurkmomendi seaduse võrrand:

Kui saadud jõumoment on null, siis ülaltoodud võrrand muutub järgmiselt:

I _t = lõplik inertsimoment, I _o = alginertsimoment, ω _t = lõplik nurkkiirus, ω _o = algnurkkiirus, L _t = lõplik nurkmoment, L _o = algnurkmoment.

Nurkmomendi jäävuse seaduse näidisülesanded

Näidisülesanne 1.

Homogeenne tahke silindrikujuline ketas pöörleb algselt ümber oma telje kiirusega 4 rad/s. Ketta mass ja raadius on 1 kg ja 0.5 m. Kui plaadi kohale asetatakse rõngas massi ja raadiusega 0.2 kg ja 0.1 m ning rõnga keskpunkt,

Vahetult ketta keskpunkti kohal pöörlevad ketas ja rõngas koos nurkkiirusega…..

Lahendus:

Silindri inertsimoment: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Rõnga inertsimoment: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Algne nurkmoment (L1 ₎ = Lõplik nurkmoment ( _L2 )

I_1ω_1 = _{I_2ω_2​}​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 :0.127

ω² ₌ 4 rad/s

Kontseptuaalsed küsimused ja vastused

1. Mis on nurkmoment?
   Vastus: Nurkmoment on objekti pöörlemise mõõt, arvestades selle massi ja kuju. See on lineaarse impulsi pöörlemisanaloog.
2. Kuidas määratakse matemaatiliselt impulsimomenti?
   Vastus: Nurkmoment (L) on defineeritud kui $L=r\times p$, Kus $r$ on asendivektor pöörlemisteljest rakenduspunktini ja $p$ on lineaarne impulss.
3. Kas impulsimoment on skalaarne või vektoriaalne suurus?
   Vastus: Nurkmoment on vektoriaalne suurus.
4. Mis on impulsimomendi ühik SI-süsteemis?
   Vastus: Nurkmomendi ühik SI-süsteemis on kilogrammmeeter ruudus sekundis (kg·m²/s).
5. Kuidas nurimoment säilib?
   Vastus: Suletud süsteemis, kus puuduvad välised pöördemomendid, jääb kogunurkmoment konstantseks.
6. Mis on impulsimomendi jäävuse printsiip?
   Vastus: Põhimõte väidab, et suletud süsteemi kogunurkmoment jääb konstantseks, kui sellele ei mõju väline pöördemoment.
7. Kuidas on iluuisutaja spinn seotud nurkkiirusega?
   Vastus: Kui iluuisutaja tõmbab pöörlemise ajal käed ja jalad keha lähedale, väheneb tema inertsimoment, mis omakorda põhjustab kiiremat pöörlemist. See näitab impulsimomendi jäävust.
8. Milline on seos pöördemomendi ja nurkmomendi vahel?
   Vastus: Pöördemoment ($\tau$) on impulsimomendi muutumise kiirus. Matemaatiliselt τ=dL/sek​.
9. Kas objektil on võimalik omada nurkkiirust ilma nurkkiiruseta?
   Vastus: Ei, kui objektil on nurkmoment, on tal nurkkiirus. Nurkmomendi suurus ja suund sõltuvad nii inertsimomendist kui ka nurkkiirusest.
10. Kuidas inertsimoment mõjutab nurkkiirust?
    Vastus: Nurkmoment (L) on inertsimomendi (I) ja nurkkiiruse (ω) korrutis. USA $L=I\omega$, inertsimomendi suurenemine antud nurkkiiruse korral suurendab nurkmomenti.
11. Mis vahe on spinnil ja orbitaalsel nurgimpulsil kvantmehaanikas?
    Vastus: Spinni nurdmoment on osakeste, nagu elektronidegi, sisemine omadus ja see ei teki liikumisest ruumis. Orbitaalne nurdmoment seevastu tekib osakese liikumisest ümber keskpunkti.
12. Milline roll on impulsimomendil planeedisüsteemide moodustumisel?
    Vastus: Kui molekulaarne pilv variseb kokku, moodustades tähti ja planeete, põhjustab nurgimpulsi jäävuse seadus materjali lamenemise vastsündinud tähe ümber kettaks, millest saavad moodustuda planeedid.
13. Kuidas güroskoop säilitab oma orientatsiooni ruumis?
    Vastus: Pöörleval güroskoobil on nurkmoment. Kui väline pöördemoment püüab selle orientatsiooni muuta, siis güroskoop pretsesseerib ehk muudab oma pöörlemistelge rakendatud pöördemomendiga risti olevas suunas tänu nurkmomendi jäävusele.
14. Mis põhjustab vurris pretsessiooni?
    Vastus: Vurrpea pretsessiooni põhjustab gravitatsiooni pöördemoment, mis mõjub vurrpea massikeskmele, mis on nihutatud pöördepunktist. See pöördemoment põhjustab vurrpea nurkmomendi suuna muutuse, pannes selle pretsessiooni.
15. Miks tähed oma poolustel lamenevad?
    Vastus: Tähtede pöörlemisel kogevad nad tsentrifugaaljõudu, mis surub ainet väljapoole. See efekt on ekvaatoril tugevam kui poolustel, mille tulemuseks on lapik ehk lapik kuju.
16. Kuidas on impulsimoment seotud Kepleri teise seadusega?
    Vastus: Kepleri teine ​​seadus sätestab, et planeeti ja Päikest ühendav sirgelõik katab võrdsete ajavahemike jooksul võrdse pindala. See on impulsimomendi jäävuse tagajärg.
17. Miks kass kukkudes alati jalgadele maandub?
    Vastus: Kassid kasutavad impulsimomendi jäävuse seadust. Oma keha väänates ja õhus inertsimomente muutes saavad nad end ümber orienteerida ja maanduda jalgadele ilma jäävuse seadust rikkumata.
18. Kuidas on elektronide magnetiline moment seotud nurkmomendiga?
    Vastus: Elektroni magnetiline moment tuleneb tema spinnist ja orbitaalsest nurdmomendist. Magnetiline moment on võrdeline elektroni nurdmomendiga.
19. Mis on impulsimoment polaarkoordinaatides?
    Vastus: Polaarkoordinaatides, nurkmoment $L$ punktmassi jaoks saab väljendada kui $L=mrv$, Kus $m$ on mass, $r$ on radiaalne kaugus ja $v$ on tangentsiaalne kiirus.
20. Mis juhtub suletud süsteemi nurkmomendiga, kui kaks objekti kokku põrkavad?
    Vastus: Suletud süsteemis, kus kaks objekti kokku põrkavad, on kogunurkmoment enne kokkupõrget võrdne kogunurkmomendiga pärast kokkupõrget, eeldades, et süsteemile ei mõju välised pöördemomendid.

Probleemid ja lahendused

1. Ülesanne: Punktmass m = 2 kg liigub kiirusega v = 3 m/s ringis raadiusega r = 4 m. Arvuta selle impulsimoment ringi keskpunkti ümber.

Lahendus: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg.m ² /s

2. Ülesanne: Tahke kera massiga 3 kg ja raadiusega 0.5 m pöörleb ümber oma läbimõõdu nurkkiirusega ω = 2 rad/s. Milline on selle impulsimoment?

Lahendus: Tahke kera puhul I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2/5 × 3 × (0.5) ² × 2 = 0.6 kg.m ² /s

3. Ülesanne: 3 kg massiga punktmass liigub sirgjooneliselt kiirusega 4 m/s. Milline on selle impulsimoment punkti suhtes, mis asub liikumissuunast 5 m kaugusel?

Lahendus:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. Ülesanne: Ketas massiga 5 kg ja raadiusega 3 m pöörleb nurkkiirusega 2 rad/s. Arvutage selle nurkmoment.

Lahendus: Ketta puhul I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Ülesanne: 4 m pikkune ja 2 kg massiga varras pöörleb ümber ühe otsa nurkkiirusega 3 rad/s. Leia selle nurkmoment.

Lahendus: Varda ühe otsa puhul on I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Ülesanne: Kui suur on pöörleva keha nurkkiiruse muutus, kui selle nurkkiirus kahekordistub?

Lahendus: Nurkmomendi (L) ja nurkkiiruse (ω) vaheline seos on $L=I\times \omega$ . Kui ω kahekordistub, kahekordistub ka nurkmoment.

7. Probleem: Kui liikuva osakese ringjoone raadius kahekordistub kiiruse konstantsena hoides, siis kui palju muutub impulsimoment?

Lahendus: Nurkmoment, $L=m\times r\times v$ . Kui r kahekordistub, kahekordistub ka L.

8. Ülesanne: 30 kg kaaluv laps seisab paigal seisva karusselli serval. Karusselli raadius on 2 m. Kui laps hakkab mööda serva maapinna suhtes jooksma kiirusega 2 m/s, leia lapse pöördemoment keskpunkti suhtes.

Lahendus: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg.m ² /s

9. Ülesanne: Silinder massiga 6 kg ja raadiusega 2 m pöörleb ümber oma kesktelje nurkkiirusega 5 rad/s. Arvutage selle nurkmoment.

Lahendus: Silindri puhul I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg ^m² /s

10. Ülesanne: Milline on keha uus nurkmoment, kui selle inertsimomenti poole võrra ja nurkkiirust kolmekordistada?

Lahendus: Arvestades $L=I\times \omega$ , kui $I$ pooleks ja $\omega$ kolmekordistada, on uus $L$ 1/2 × 3 = 1.5 × algne.

11. Ülesanne: 2 kg massiga ja 1 m raadiusega rõngas pöörleb nurkkiirusega 4 rad/s. Arvutage selle nurkmoment.

Lahendus: Rõnga puhul I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1/ ² ×4=8 kg ^·m² /s

12. Ülesanne: Ventilaatoril on 0.5 m pikkused labad ja kogumass 1 kg. Kui see pöörleb nurkkiirusega 10 rad/s, määrake selle nurkmoment.

Lahendus: Eeldades, et ventilaatori labad on nagu ühes otsas pöörlevad vardad, on I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg ^m² /s

13. Ülesanne: Arvutage Maa pöörlemisest tingitud impulsimoment oma telje ümber. Antud: Maa mass = ^5.972 × ^10²⁴ kg , raadius $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻¹⁴\text{rad/s}$.

Lahendus: Eeldades, et Maa on tahke kera, on I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Probleem: Laps liigub pöörleva platvormi keskpunkti poole. Kas pöördemoment suureneb, väheneb või jääb samaks?

Lahendus: Nurkmoment säilib. Lapse liikudes keskpunkti poole, inertsimoment väheneb. Nurkmomendi säilitamiseks nurkkiirus suureneb. Seega jääb nurkmoment samaks.

15. Ülesanne: Kui pöörleva keha kineetiline energia kahekordistub, siis kui palju muutub selle nurkmoment?

Lahendus: Kineetiline energia K = 1/2 I ω ² ja impulsimoment $L=I\omega$ . Kui kineetiline energia kahekordistub ja $I$ jääb konstantseks, siis ω ² kahekordistub. See tähendab, et $\omega$ suureneb teguriga √ 2 .$Seega\; suureneb\; ka\; L$ teguriga √ 2 .

16. Ülesanne: Jalgratta ratta raadius on 0.3 m, mille velje mass on 1.5 kg. Kui see pöörleb nurkkiirusega 5 rad/s, siis leia selle nurkmoment.

Lahendus: Eeldades, et velg on rõngas, on I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Probleem: Uisutaja tõmbab pöörlemise ajal käed sissepoole. Mis juhtub tema impulsimomendiga?

Lahendus: Uisutaja nurkmoment säilib. Käsi sisse tõmmates vähendab ta oma inertsimomenti ja seega pöörleb ta kiiremini (suureneb nurkkiirus), et säilitada oma nurkmomenti.

18. Ülesanne: Hooratta inertsimoment on 0.2 kg.m ² kg.m ² ja see pöörleb nurkkiirusega 10 rad/s. Leia selle nurkmoment.

Lahendus:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² / s^​

19. Probleem: Süsteemile mõjub väline netomoment, mis on null. Mida saate öelda selle nurkmomendi kohta?

Lahendus: Kui neto väline pöördemoment on null, siis vastavalt impulsimomendi jäävuse seadusele jääb süsteemi kogunurkmoment konstantseks.

20. Ülesanne: Punktmass m = 5 kg liigub kiirusega v = 3 m/s risti seda punktiga P ühendava sirgega. Kui kaugus punktist P on 4 m, siis leia selle nurkmoment punkti P ümber.

Lahendus:

$L=m\times r\times v$ =5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s