Seda nimetatakse Poiseuille'i võrrandiks, kuna selle avastas kadunud Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Nagu selgitatud, võib iga vedelikku pidada ideaalseks vedelikuks. Ideaalsetel vedelikel ei ole viskoossust. Kui kujutame ette ideaalset vedelikku torus voolamas, liigub iga vedeliku osa sama kiirusega (v). Erinevalt ideaalsetest vedelikest on reaalsetel vedelikel ehk igapäevaelus kokkupuutuvatel vedelikel viskoossus. Kuna neil on viskoossus, siis näiteks torus voolates varieerub iga vedeliku osa kiirus. Keskel olev vedeliku kiht liigub kiiremini (v on suur), samas kui toru külge kinnitatud vedeliku kiht ei liigu ehk paigal (v = 0). Seega toru keskelt servani liigub iga vedeliku osa erineva kiirusega. Et teil oleks lihtsam aru saada, vaadake allolevat pilti...
Teave:
R = toru/vooliku raadius
v 1 = vedeliku voolukiirus toru keskel/teljel
v 2 = vedeliku voolukiirus toru servast r 2 kaugusel
v 3 = vedeliku voolukiirus toru servast r 3 kaugusel
v 4 = vedeliku voolukiirus toru servast r 4 kaugusel
r = kaugus
Selleks, et iga vedeliku voolukiirus oleks sama, peab iga toru või torujuhtme mõlemas otsas, mille kaudu vedelik voolab, olema rõhuerinevus. Vedeliku all peame siin silmas päris vedelikke, näiteks torus voolavat vett või õli, veresoontes voolavat verd jne. Lisaks päris vedeliku sujuvale voolamisele võivad rõhuerinevused võimaldada ka vedelike voolamist torudes erinevatel kõrgustel.
Jean Louis Marie Poiseuille, endine prantsuse teadlane, kes oli huvitatud inimese vereringe füüsikalistest aspektidest, viis läbi uuringuid, et uurida, kuidas sellised tegurid nagu rõhuerinevused, toru ristlõikepindala ja toru suurus mõjutavad reaalse vedeliku kiirust. Jean Louis Marie Poiseuille'i saadud tulemusi tuntakse Poiseuille'i võrrandina.
Poiseuille'i võrrandi saab tuletada eelnevalt tuletatud viskoossuskordaja võrrandi abil. Me kasutame viskoossuskordaja võrrandit, kuna juhtum on sarnane, kuid mitte identne. Viskoossuskordaja võrrandi tuletamisel arvestame reaalse vedeliku kihi vooluga kahe paralleelse plaadi vahel ning vedelik saab liikuda tõmbejõu (F) tõttu. Erinevus seisneb selles, et tuletatav Poiseuille'i võrrand kirjeldab tegelikult tegureid, mis mõjutavad reaalse vedeliku voolu torus/voolikus ning vedelik voolab rõhuerinevuste tõttu. Seetõttu tuleb viskoossuskordaja võrrandit uuesti kohandada.
Vedelikud saavad voolata rõhuerinevuste tõttu (vedelikud voolavad kõrge rõhuga kohtadest madala rõhuga kohtadesse), seega asendame F muutujaga p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Viskoossuskordaja võrrandi tuletamisel vaatleme reaalse vedeliku kihi voolamist kahe paralleelse plaadi vahel. Vedeliku iga osa kiirus muutub regulaarselt kauguse l võrra. Sel juhul muutub vedeliku voolukiirus regulaarselt toru teljest toru servani. Toru teljel olev vedelik voolab suurema kiirusega (v). Mida kaugemale serva poole liigutakse, seda väiksem on vedeliku kiirus. Toru raadius = toru telje ja toru serva vaheline kaugus = R. Vedeliku iga osa ja toru serva vaheline kaugus = r. Kuna vedeliku iga osa arv on väga suur ja nende kaugus toru servast varieerub, kirjutame selle lihtsalt nii:
v1 = vedeliku kiirus toru servast kaugusel r1 (r1 = R)
v² = vedeliku kiirus toru servast kaugusel r² (r² < r¹)
v3 = vedeliku kiirus toru servast kaugusel r3 (r3 < r2 < r1)
v4 = vedeliku kiirus toru servast kaugusel r4 (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = vedeliku kiirus toru servast kaugusel rn (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Vedeliku iga osa arv on väga suur ja me ei tea täpselt, kui suur see tegelikult on, seega piisab, kui kirjutada see sümboliga n. Vedeliku iga osa kiirus (v) muutub regulaarselt toru teljest (r1 = R) toru servani (rn). Toru teljest (r1 = R) toru servani (rn) väheneb vedeliku iga osa kiirus (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Ülaltoodud selgitusest saame aimu, et R-st rn-ni vedeliku kiirus väheneb. Toru pikkus = L. Saadud võrrand on:
Kuna me arvestame vedeliku voolukiirusega (v), saab võrrand 2 järgmiseks:
See on vedeliku voolukiiruse võrrand torust kaugusel r, mille raadius on R. Kui ülaltoodud pilti vaadates on midagi segaduses... Pange tähele, et vedelik voolab torus, seega peame üle vaatama vedeliku mahulise voolukiiruse.
Toru sees on vedelik. Näiteks jagame vedeliku väga väikesteks tükkideks, kus iga tüki pindala on ühik dA, see asub toru teljest kaugel ja selle voolukiirus on v. Matemaatiliselt saab seda kirjutada järgmiselt:
dA1 = vedeliku ristlõige 1, mis asub toru teljest 1 kaugusel
dA2 = vedeliku ristlõige 2, mis asub toru teljest 2 kaugusel
dA3 = vedeliku ristlõige 3, mis asub toru teljest 3 kaugusel
..................................
dA n = vedeliku ristlõige n, mis on toru teljest kaugus dA n
Vedeliku osi on nii palju, et on mugav neid lihtsalt sümboliga n kirjutada. Iga vedelikuosa mahuvoolukiirust saab matemaatiliselt kirjutada järgmiselt:
Iga vedelikutükk asub kaugusel r = 0 kuni r = R (R = toru raadius). Teisisõnu, iga vedelikutüki kaugus toru teljest mõõdetuna muutub. Kui me katsetame integreerimist, saame torus oleva vedeliku mahuvoolukiiruse võrrandi:
Teave:
Q = Deebet
R = toru või toru sisemine raadius
η = viskoossuskoefitsient
P 1 – p 2 = Rõhu erinevus toru kahe otsa vahel
L = toru pikkus
p 1 -p 2 /L = Rõhugradient (vedeliku vool liigub alati rõhu languse suunas)
Ülaltoodud Poiseuille'i võrrandi põhjal näib, et vedeliku mahuvoolukiirus ehk vooluhulk (Q) on võrdeline toru raadiuse neljanda astmega (R 4 ), rõhugradiendiga (p 2 – p 1 /L) ja pöördvõrdeline viskoossusega. Kui toru raadiust suurendatakse (viskoossuskoefitsient ja rõhugradiendi väärtus jäävad konstantseks), suureneb vedeliku voolukiirus 16 korda.
Torude, süstalde ja muude asjade projekteerimise põhikontseptsioon kasutab seda võrrandit. Vedeliku voolukiirus on võrdeline R 4 -ga (R = toru raadius). Süstla või toru raadiust tuleb hoolikalt arvutada. Näiteks kui me kahekordistame nõela raadiuse (r x 2), siis pihustatava vedeliku voolukiirus = suurendab pöidla survejõudu 16 korda.
Poiseuille'i võrrand näitab ka, et raadiuse neljas aste (r 4 ) on pöördvõrdeline toru kahe otsa vahelise rõhuerinevusega. Näiteks voolab veri algselt veresoones, mille siseraadius on r. Kui veresoon aheneb (näiteks r / 2 = veresoone siseraadius väheneb 2 korda), siis on verevoolu taastamiseks (nii et voolukiirus ehk veremaht jääks konstantseks) vaja 16-kordset rõhuerinevust.
