Tehted kompleksarvudega
Kompleksarvud on matemaatiline mõiste, mis ühendab reaalseid ja imaginaararve. Need on paljude teadusharude, sealhulgas füüsika, inseneriteaduse ja matemaatika enda alus. Selles artiklis uurime erinevaid tehteid, mida saab kompleksarvudega teha, sealhulgas liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist ja palju muud.
Kompleksarvude mõistmine
Iga kompleksarvu saab kirjutada kujul \(a+bi\), kus \(a\) ja \(b\) on reaalarvud ja \(i\) on imaginaarühik, mis vastab tingimusele \(i^2 = -1\). Terminit \(a\) nimetatakse reaalosaks ja \(b\) on kompleksarvu imaginaarosa. Näiteks \(3 + 4i\) on kompleksarv, mille reaalosa on 3 ja imaginaarosa 4.
Põhivõrrandina on meil:
\[i^2 = -1 \]
Mis tähendab, et \(i\) on ruutjuur arvust -1.
Liitmine ja lahutamine
Kompleksarvude liitmine ja lahutamine toimub vastavalt reaal- ja imaginaarosade liitmise ja lahutamise teel. Oletame, et meil on kaks kompleksarvu \(z_1 = a + bi \) ja \(z_2 = c + di \), siis:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
Kontoh:
Olgu \(z_1 = 3 + 4i \) ja \(z_2 = 1 + 2i \), siis:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Perkalian
Kompleksarvude korrutamine kasutab jagatavaid funktsioone nagu algebras, aga arvestab i^2 = -1. Oletame, et z_1 = a + bi ja z_2 = c + di, siis:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd (-1) \]
[ = ac + adi + bci – bd ]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Kontoh:
Olgu \(z_1 = 3 + 4i \) ja \(z_2 = 1 + 2i \), siis:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i) (1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Levitamine
Kompleksarvude jagamine toimub lugeja ja nimetaja korrutamisel nimetaja konjugaadiga. Kompleksarvu konjugaat \(z = a + bi \) on \( \overline{z} = a – bi \).
Oletame, et \(z_1 = a + bi \) ja \(z_2 = c + di \), siis:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
Korrutatuna nimetaja konjugaadiga:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Kontoh:
Olgu \(z_1 = 3 + 4i \) ja \(z_2 = 1 + 2i \), siis:
Konjugaat \(z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1–2i)}{(1 + 2i)(1–2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
On teada, et \(i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Moodul ja argumendid
Kompleksarvu moodul on kaugus komplekstasandi alguspunktist kompleksarvuga tähistatud punktini. Kompleksarvu moodulit \(z = a + bi \) väljendatakse kui \(|z| \) ja see arvutatakse järgmiselt:
\[ |z| = √(a^2 + b^2)} \]
Kontoh:
Kui ∫(z = 3 + 4i), siis:
\[ |z| = ∫qrt{3^2 + 4^2} = ∫qrt{9 + 16} = ∫qrt{25} = 5 \]
Kompleksarvu argument on nurk, mille kompleksarv moodustab reaalarvu teljega komplekstasandil ja seda väljendatakse tavaliselt radiaanides või kraadides.
Polaarne vorm
Kompleksarvu saab esitada ka polaarkujul. See vorm lihtsustab sageli arvutusi, mis hõlmavad kompleksarvude astmeid ja juuri. Kompleksarvu saab esitada järgmiselt:
\[z = r(cos \teeta + i \sin \teeta) \]
kus \(r \) on moodul ja \( \theta \) on kompleksarvu argument.
Muud kompleksoperaatorid: eksponentsiaalne ja logaritmiline
Kompleksarvude teisendamine eksponentsiaalseks vormiks toimub Euleri valemi abil:
\[z = re^{i\teeta} \]
kus \(e \) on naturaallogaritmi alus ja \( \theta \) on \(z \) argument.
Kompleksarvude astmestamine on väga kasulik paljudes tehtes, eriti Fourier' analüüsis ja Laplace'i teisendustes.
Järeldus
Kompleksarvud on fundamentaalne tööriist, mis on uskumatult kasulik paljude matemaatika ja loodusteaduste probleemide lahendamisel. Põhiliste tehte nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine omandamine on oluline esimene samm. Lisaks parandab mooduli, argumendi ning polaarsesse ja eksponentsiaalsesse vormi teisendamise mõistete mõistmine meie võimet uurida kompleksarvude rakendusi väga erinevates valdkondades.
Kompleksarvude mõistmise ja rakendamise abil saame lahendada probleeme, mida ainult reaalarvude abil oleks keeruline või isegi võimatu lahendada. Võimsa analüütilise tööriistana on kompleksarvud matemaatika ja teaduslike rakenduste lahutamatu osa tänaseni.
