Lihtne viis tõenäosusülesannete lahendamiseks
Tõenäosus on koolides sageli käsitletav matemaatiline teema, kuna see on seotud igapäevaeluga: alates täringule ilmumise tõenäosusest kuni värvilise palli tõmbamiseni kastist kuni sündmuse toimumise tõenäosuseni andmete põhjal. Kahjuks peavad paljud õpilased tõenäosust "keeruliseks", sest ülesanded tunduvad lihtsad, kuid vastused võivad olla valed, kui neid hoolikalt ei kaaluta. Tõenäosusülesannete lahendamiseks on aga üsna lihtne ja süstemaatiline viis: mõista põhimõisteid, teha kindlaks ülesande tüüp ja seejärel valida õige strateegia.
See artikkel käsitleb praktilisi samme, mis aitavad teil tõenäosusülesannetega töötades kiiremini ja täpsemalt töötada.
-
1. Mõista võimaluse põhiideed
Üldiselt kirjutatakse sündmuse tõenäosus \(A\) järgmiselt:
\[
P(A) = \frac{\text{tulemuste arv, mis toetavad }A}{\text{kõigi võimalike tulemuste arv}}
\]
Võti peitub kahes asjas:
1. Valimiruum (S): kõik võimalikud tulemused, mis võivad esineda.
2. Sündmus (A): valimiruumi osa, mis vastab esitatud küsimusele.
Kui kõik tulemused on võrdselt tõenäolised (nt õiglased täringud, õiglased mündid), siis saab ülaltoodud valemit otse kasutada. Kui need pole võrdselt tõenäolised, arvutatakse tõenäosused tavaliselt teiste mudelite (nt sagedusandmete või tingimusliku tõenäosuse) põhjal.
-
2. Kiired sammud võimalusprobleemide lahendamiseks
Eksimise vältimiseks kasutage järgmist "töövalemit":
1. Kirjuta üles, mida küsitakse (millise sündmuse kohta küsitakse?).
2. Määrake valimiruum (mitu võimalikku tulemust on?)
3. Arvutage tulemused, mis toetavad taotletud sündmust.
4. Kasumi jagamine toetab üldtulemusi
5. Lihtsusta murd ja veendu, et see on loogiline (tõenäosus peab olema vahemikus 0 kuni 1)
Enamik vigu tekib seetõttu, et 2. ja 3. sammu ei ole selgelt välja toodud.
-
3. Vajadusel kasutage tabeleid, puudiagramme või loendeid.
Kahe või enama katsega ülesannete puhul (nt kaks korda mündi viskamine, kaks korda kaardi tõmbamine) on visuaalsed meetodid väga kasulikud.
a) Tabel
Sobib kahe lihtsa muutuja jaoks, näiteks mündid ja täringud.
b) Puudiagramm
Sobib samm-sammult katseteks, eriti kui on olemas „tagasituleku puudumine” tingimus (objektide arv muutub).
c) Valimiruumi liikmete loend
Sobib väikeste näidisruumide jaoks.
Nii ei pea sa arvama.
-
4. Klassikalised tõenäosusküsimused ja kiired lahendused
A. Täringutega võiduvõimalused
Täringul on 6 külge: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Näide: paarisarvu saamise tõenäosus.
– Valimiruum \(S = 6\)
– Sündmus \(A = \{2,4,6\}\) on 3
– (P(A) = 3/6 = 1/2)
Kiire nipp: loe alati „kui palju täidiseid“, mitte „kokku 6“.
-
B. Mündi pealt võidetud võimalus
Mündil on kaks külge: pea (A) ja pea (G).
Näide: pildi saamise tõenäosus mündi üks kord viskamisel.
– Kokku 2
– Tugi 1
– Võimalus \(=1/2\)
Kui visatakse kaks korda:
– Näidisruum: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) kokku 4
Kiire nipp: sõltumatute katsete puhul on kogutõenäosus tavaliselt \(2^n\) (müntide puhul) ja \(6^n\) (täringute puhul).
-
C. Palli võtmise tõenäosus kastist (asendusega ja ilma asendamiseta)
Näiteks karbis on 3 punast ja 2 sinist palli (kokku 5).
1) Tagasimaksega
Võtke kaks korda, iga kord, kui pall tagastatakse. Punase ja seejärel sinise palli võtmise tõenäosus:
– Punase tõenäosus: \(3/5\)
– Seejärel sinine (kuna see tagastati, jääb see alles): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) Tagastusi ei toimu
Võta 2 korda tagasi tulemata. Punase ja seejärel sinise tõenäosus:
– Esimese punase võidu koefitsient: \(3/5\
– 4 palli alles, ülejäänud sinised jäävad 2 → teise sinise tõenäosus: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
Peamine erinevus: ilma asenduseta nimetaja muutub, kuna pallide koguarv väheneb.
-
5. Kasutage liitmis- ja täiendusreegleid
A. Liitmisreegel (VÕI)
Kui küsitakse koefitsiente „A või B”, kasutage:
\[
P(A ≤ B) = P(A) + P(B) – P(A ≤ B)
\]
– \(A \tass B\): A või B (või mõlemad)
– \(A \cap B\): A ja B samaaegselt
Lihtne näide: täringud, paarisarvu või kolme kordse saamise tõenäosus.
– Paarisarv: {2,4,6} → 3
– 3 kordsed: {3,6} → 2
– Viilud (paarisarvud ja 3 kordsed): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
B. Täiend (vastaspool)
Tihti on lihtsam kokku lugeda „ei juhtunud“ ja seejärel see 1-st lahutada.
\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]
Näide: tõenäosus, et mündi kolm korda viskamisel ilmub vähemalt üks "kull".
Arvu 1, 2, 3 korda lugemise asemel loenda selle täiend:
– Täiend: numbreid pole = kõik figuurid (GGG)
– \(P(\tekst{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– Seega \(P(\text{vähemalt 1 arv}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
See nipp on väga populaarne küsimuste puhul, mis nõuavad „vähemalt ühte”, „vähemalt ühte” ja „kõige vähem”.
-
6. Tingimuslikud koefitsiendid: pöörake tähelepanu lisateabele
Tingimuslik tõenäosus tähendab A toimumise tõenäosust, eeldusel, et B on juba toimunud:
\[
P(A|B)=\frac{P(A ΣB)}{P(B)}
\]
Selline küsimus ilmub tavaliselt siis, kui on lisateavet, näiteks "on teada, et punane pall loositi" või "on teada, et valitud õpilane oli tüdruk".
Lihtne viis:
1. Keskendume tingimusele B (eeldame, et valimiruum kitseneb ainult B-ni)
2. Nende hulgast, mis vastavad punktile B, lugege kokku need, mis vastavad ka punktile A.
-
7. Kõige levinumad vead
1. Unustasin prooviruumi muuta, kui asendust ei tehtud.
2. Sõna „või” valesti tõlgendamine (mõnikord tähendab see mõlemat).
3. Sõnade „miinimum” / „kõige” kasutamine pole täpne; parem on kasutada täiendeid.
4. Eeldatakse sündmuste sõltumatust, kui nad seda ei ole (ilma tagastuseta pole nad sõltumatud).
5. Ära lihtsusta ega kontrolli loogikat (tõenäosus ei tohi olla >1).
-
8. Harjuta näpunäiteid, et kiiresti oskusi omandada
– Harju kirjutama: \(S\), \(A\), palju liikmeid \(n(S)\), \(n(A)\).
– Harjuta puudiagrammidega „kaheastmelisi“ ülesandeid.
– Harjuta vähemalt ühte küsimust täiendustega.
– Kui sul on vastus olemas, kontrolli: kas see on loogiline? Kui sündmuse tõenäosus on „tõenäoline“, on selle väärtus tavaliselt lähemal 1-le, mitte lähemal 0-le.
-
Sulgemine
Tõenäosusülesannete lahendamine on tegelikult lihtne, kui järjepidevalt kasutada süstemaatilisi samme: defineerida valimiruum, määrata sündmused ja seejärel arvutada suhe. Keerukamate ülesannete puhul kasutada visuaalseid abivahendeid, näiteks tabeleid või puudiagramme, ning liitmise, korrutamise ja täiendamise reegleid. Piisava harjutamise ja ülesannete hoolika lugemise korral ei tundu tõenäosus enam "trikkina", vaid saab matemaatika osaks, mis on tegelikult nauditav, kuna see on lähedane igapäevasündmustele.
Soovi korral võin koostada ka 10 näidet tõenäosusküsimustest koos selgitustega (lihtsast raskeni), et saaksite kohe harjutada.
