Täisarvud ja nende omadused
Täisarvud on matemaatika ühed põhimõisted, kuid mängivad igapäevaelus olulist rolli. Esemete loendamisel, miinuskraade määramisel, keldri korruste arvu arvutamisel või ettevõtte kasumi ja kahjumi registreerimisel on meil tegelikult tegemist täisarvudega. Täisarvude ja nende omaduste mõistmine lihtsustab aritmeetika, algebra ja isegi kõrgema taseme matemaatiliste mõistete õppimist.
Täisarvude definitsioon
Täisarvud on arvude hulk, mis koosneb negatiivsetest täisarvudest, nullist ja positiivsetest täisarvudest. Täisarvude hulga tähistamiseks kasutatav sümbol on sageli Z (tuletatud saksa sõnast Zahlen, mis tähendab "arvud"). Üldiselt saab täisarve kirjutada järgmiselt:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Erinevalt täisarvudest, mis sisaldavad ainult nulle ja positiivseid arve, sisaldavad täisarvud negatiivseid arve, seega on nad erinevate olukordade kirjeldamisel terviklikumad.
Näited täisarvudest igapäevaelus
Täisarvud on tihedalt seotud inimtegevusega. Mõned näited nende kasutamisest on järgmised:
1. Õhutemperatuur: temperatuur -5 °C näitab, et temperatuur on 5 kraadi alla nulli.
2. Kõrgus merepinnast: -20 meetri kõrgus merepinnast võib tähendada asukohta 20 meetrit merepinnast allpool.
3. Rahandus: saldo -50 000 näitab 50 000 suurust võlga või puudujääki.
4. Hoone korrus: Keldri jaoks kasutatakse tavaliselt 1. või 2. korrust.
5. Mängu skoor: Mõnes mängus võib skoor suureneda või väheneda, seega on tegemist nii positiivsete kui ka negatiivsete arvudega.
Nendest näidetest on näha, et täisarvud aitavad meil väljendada olekuid „rohkem kui“, „väiksem kui“ või „võrdne“, kasutades võrdluspunktina nulli.
Täisarvude rida
Täisarvude mõistmiseks kasutame sageli arvtelge. Arvtelg on sirge, mis asetab arvud kindlatesse kohtadesse:
– Positiivsed arvud asuvad nullist paremal.
– Negatiivsed arvud asuvad nullist vasakul.
– Mida paremale väärtus liigub, seda suurem see on.
– Mida vasakule, seda väiksem on väärtus.
Arvsile abil saame täisarve hõlpsalt võrrelda. Näiteks -2 on suurem kui -5, sest -2 asub -5-st paremal.
Täisarvude omadused
Täisarvudel on matemaatilistes tehtes mitu olulist omadust. Need omadused on väga kasulikud arvutuste tegemisel, algebraliste avaldiste lihtsustamisel või mõistete tõestamisel.
1. Suletud olemus (sulgemine)
Täisarvude hulk on teatud tehte suhtes kinnine, mis tähendab, et kui me neid tehteid täisarvudega teostame, on tulemuseks ikkagi täisarv.
– Liitmine: Kui a ja b on täisarvud, siis a + b on samuti täisarv.
Näide: -3 + 7 = 4
– Lahutamine: Kui a ja b on täisarvud, siis a − b on samuti täisarv.
Näide: 5 − 12 = -7
– Korrutamine: Kui a ja b on täisarvud, siis a × b on samuti täisarv.
Näide: (-4) × 6 = -24
Täisarvud ei ole aga alati jagamiskindlad, sest jagamise tulemuseks võib olla murd.
Näide: 1 ÷ 2 = 1/2 (mitte täisarv).
2. Kommutatiivne omadus (vahetus)
Kommutatiivne omadus tähendab, et arvude järjekorda saab vahetada tulemust muutmata.
– Liitmine: a + b = b + a
Näide: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– Korrutamine: a × b = b × a
Näide: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Oluline on meeles pidada, et lahutamine ja jagamine ei ole kommutatiivsed.
Näide: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Assotsiatiivsed omadused (rühmitamine)
Assotsiatiivne omadus tähendab, et arvude rühmitamise viis tehtes ei muuda tulemust.
– Liitmine: (a + b) + c = a + (b + c)
Näide: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– Korrutamine: (a × b) × c = a × (b × c)
Näide: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Nii nagu kommutatiivne, ei kehti ka assotsiatiivne omadus lahutamise ja jagamise puhul.
4. Jaotuvad omadused (levimine)
Jaotuvusomadus seob korrutamise liitmise või lahutamisega:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Näide: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Näide: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
See omadus on väga oluline algebraliste vormide lihtsustamisel ja võrrandite lahendamisel.
5. Ühtsuselemendid (liitmise ja korrutamise samasused)
Identiteet on arv, millega tehes teise arvu väärtust ei muudeta.
– Aditiivne samasus on 0: a + 0 = a
Näide: -9 + 0 = -9
– Korrutustegur on 1: a × 1 = a
Näide: 8 × 1 = 8
Identiteedid aitavad meil mõista neutraalset mõistet matemaatilistes tehtes.
6. Pöördelemendid (vastandarvud)
Igal täisarvul on aditiivne pöördarv, mis on vastandarvule, mille liitmisel saadakse 0.
– a pöördfunktsioon on -a, seega: a + (-a) = 0
Näide: 6 + (-6) = 0 ja -4 + 4 = 0
Kuid mitte kõigil täisarvudel pole korrutamisel pöördväärtust. Näiteks arvu 2 korrutatav pöördväärtus on 1/2, mis ei ole täisarv.
7. Positiivsed ja negatiivsed märgid töös
Täisarvudes annavad positiivsed ja negatiivsed märgid korrutamisel ja jagamisel erireeglid:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
Kontoh:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Liitmise ja lahutamise puhul kasutame sageli arvtelje mõistet või reeglit:
– Negatiivsete arvude liitmine on sama mis lahutamine.
– Negatiivse arvu lahutamine on sama mis liitmine.
Kontoh:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Järeldus
Täisarvud on arvude hulk, mis koosneb negatiivsetest arvudest, nullidest ja positiivsetest arvudest. Need arvud on väga olulised, kuna need võivad kirjeldada mitmesuguseid elutingimusi, näiteks miinuskraade, rahalisi kaotusi või asukohti merepinnast allpool. Täisarvudel on ka põhiomadused, näiteks kinnised (liitmise, lahutamise ja korrutamise jaoks), kommutatiivsed, assotsiatiivsed, jaotuvad, samasus- ja aditiivsed pöördarvud. Täisarvude omaduste mõistmise abil on meil lihtsam arvutusi teha, tehteid lihtsustada ja õppida edasisi matemaatilisi teemasid, nagu algebra, võrrandid ja muud arvusüsteemid.
Soovi korral võin teha sellest artiklist alg-/keskkooli tasemele (lihtsam versioon) või formaalsema versiooni, näiteks täieliku essee koos harjutusküsimuste ja aruteludega.
