Permutatsiooni- ja kombinatsioonireeglid
Matemaatikas, eriti tõenäosusteooria ja statistika valdkonnas, puutume sageli kokku küsimusega „mitul viisil“ saab sündmus aset leida. Näiteks: mitu võimalikku istekohtade paigutust on antud arvu inimeste jaoks? Mitu võimalust saab meeskonnaliikmeid õpilaste rühmast valida? Sellistele küsimustele vastatakse permutatsiooni- ja kombineerimisreeglite abil, mis on kaks loendamisreeglite põhimõistet. Kuigi mõlemad käsitlevad „võimaluste arvu“, seisneb oluline erinevus selles, kas järjekorda võetakse arvesse.
1. Loendamisreeglite põhikontseptsioon
Enne kui süveneme permutatsioonide ja kombinatsioonide juurde, on oluline mõista ühte põhiideed: loendamine on protsess, mille käigus loetakse antud tingimuste komplektist võimalike tulemuste arv. Väikeste juhtumite korral saab loendamise teha käsitsi, kuid suuremate juhtumite puhul vajame tõhusat valemit.
Loendamise kaks peamist põhimõtet on järgmised:
1. Tootereegel
Kui protsess koosneb mitmest etapist ja igas etapis on mitu valikut, siis on võimaluste koguarv iga etapi valikute arvu korrutis.
2. Summa reegel
Kui valiku saab teha mitmel üksteist välistaval (mitte kattuval) viisil, siis on valikute koguarv nende valikute summa.
Permutatsioonid ja kombinatsioonid on selle põhimõtte edasised rakendused, eriti kui objekte hakatakse paigutama või valima.
2. Permutatsioon: paigutus, pöörates tähelepanu korrale
Permutatsioon on objektide järjestus- ehk valimisviis, mille puhul on oluline järjestus. See tähendab, et järjestus AB erineb järjestusest BA.
a. n erineva objekti permutatsioonid (kõik järjestatult)
Kui järjestusse tuleb paigutada n erinevat objekti, siis järjestuste arv on:
\[
n! = n korda (n-1) korda (n-2) korda ⋅ dots ⋅ 2 korda 1
\]
Märki “!” nimetatakse faktoriaaliks.
Kontoh:
Seal on 4 erinevat raamatut. Mitu võimalust saab neid riiulil paigutada?
\[
4! = 4 korda 3 korda 2 korda 1 = 24
\]
Seega on 24 kokkulepet.
b. Osaline permutatsioon: r valimine n hulgast (järku arvestatakse)
Kui n erineva objekti hulgast valime järjestamiseks r objekti (mitte tingimata kõik), siis permutatsioonivalem on:
\[
P(n,r) = ∫\frac{n!}{(nr)!}
\]
Kontoh:
6 õpilase seast valitakse 3 õpilast, kes saavad juhatajaks, aseesimeheks ja sekretäriks. Mitmel viisil saab seda teha?
Kuna esimees ja asesekretär on erinevad ametikohad, on järjekord oluline.
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 korda 5 korda 4 = 120
\]
Seal on 120 viisi.
c. Sama objektiga permutatsioonid (kordus/identne)
Mõnikord leidub objekte, mis pole kõik unikaalsed. Näiteks sõnas "ÖÖ" on kaks M-i ja kaks A-d (või sõna "ÖÖ" puhul: on 2 M-i, on 2 A-d? Tegelikult "ÖÖ" = ÖÖ: M=2, A=2, L=1). Erinevate paigutuste arv arvutatakse järgmiselt:
\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \dots}
\]
kus \(n\) on objektide koguarv ja \(n_1, n_2\) on identsete objektide arv.
Kontoh:
Mitu erinevat tähtede paigutust on sõnas "ÖÖ"?
Tähtede arv \(n=5\), M-il on 2, A-l on 2, L-il on 1.
\[
Σ5!}{2!\,2!} = Σ120}{4} = 30
\]
Seega on 30 erinevat korraldust.
3. Kombineerimine: valik järjestusest olenemata
Kombineerimine on objektide valimise viis, kus järjekord ei ole oluline. A ja B valimine on sama mis B ja A valimine.
Kombinatsioonivalem valib n objekti hulgast r:
\[
C(n,r) = ∫binom{n}{r} = ∫frac{n!}{r!(nr)!}
\]
a. Näide lihtsast kombinatsioonist
Kontoh:
10 õpilase seast valitakse 3 õpilast võistlusmeeskonna liikmeteks (ilma kindlate ametikohtadeta). Mitmel viisil?
Kuna auastmeid pole, pole järjekord oluline.
\[
C(10,3) = \\frac{10!}{3!\,7!} = \\frac{10 × 9 × 8}{3 × 2 × 1} = 120
\]
Seal on 120 viisi.
b. Permutatsioonide ja kombinatsioonide vaheline seos
Pane tähele, et permutatsioonid ja kombinatsioonid on omavahel seotud. R inimese valimiseks ja nende järjestamiseks saame:
– kõigepealt vali r inimest: \(C(n,r)\)
– järjesta r see inimene: \(r!\)
Seega:
\[
P(n,r) = C(n,r) korda r!
\]
See näitab, et permutatsioon on "suurem", kuna see eristab järjekorda.
4. Kuidas määrata: kasutada permutatsiooni või kombinatsiooni?
Probleemi lahendamiseks on kõige olulisem samm tuvastada, kas tellimust võetakse arvesse.
Kasutage permutatsioone, kui:
– on olemas ametikoht või tiitel (esimees, aseesimees, 1.-2.-3. koht),
– seal on istekohtade paigutus,
– on olemas kood või järjestus.
Kasutage kombinatsiooni, kui:
– ainult valitud grupi liikmed,
– järjekord ei erista tulemusi,
– oluline on see, kes valitakse, mitte tema positsioon.
Kiire näide:
– Valige 12 inimese seast 5 komisjoni liikmeks: kombinatsioon
– 1., 2. ja 3. koha võitjate selgitamine 12 osaleja seast: permutatsioon
5. Näited rakendustest igapäevaelus
Permutatsioonid ja kombinatsioonid esinevad mitte ainult matemaatikaõpikutes, vaid ka reaalsetes olukordades:
1. Parooli turvalisus (parool/PIN-kood)
Võimalike neljakohaliste PIN-koodide (0–9) arv, mille korduvus on lubatud, on \(10^4\). See on seotud korrutamisreegliga ja kordustega permutatsioonide ideega.
2. Ajakavade või istekohtade planeerimine
Istekohtade määramine ametlikel üritustel, kasutades erinevatest asenditest tulenevaid permutatsioone.
3. Meeskonna või komitee valimine
Mitme inimese valimine grupist on kombinatsioon, sest järjekord pole oluline.
4. Kaardimängud
Kombinatsioone kasutatakse sageli pokkeris või muudes mängudes konkreetse käe tõenäosuse arvutamiseks.
6. Levinud vead, mida tuleks vältida
Mõned vead, mis permutatsiooni- ja kombinatsiooniülesannetega töötamisel sageli esinevad:
– Järjekorra ebaoluliseks pidamine, kuigi see on oluline, näiteks esimehe ja aseesimehe valimine (see peaks olema permutatsioon).
– Identsete objektide jagamise unustamine, näiteks korduvate tähtedega sõnade moodustamine.
– Faktoriaalide valearvestus, eriti vormi \(\frac{n!}{(nr)!}\) lihtsustamisel.
Üks viis selle vältimiseks on kirjutada küsimuse tõlgendus lihtsate lausetega: „Kas ma valin või korraldan?“ ja „Kas positsioon mõjutab tulemust?“
Sulgemine
Permutatsiooni ja kombineerimise reeglid on olulised tööriistad võimaluste arvu arvutamiseks erinevates olukordades. Permutatsioone kasutatakse siis, kui järjestus või positsioon on oluline, kombinatsioone aga siis, kui järjestus pole oluline. Selle eristuse mõistmise, faktoriaalide omandamise ja sobivate valemite rakendamise abil saame paljusid loendamise ja tõenäosusülesandeid kiiremini ja täpsemalt lahendada. Praktikas on õige meetodi – permutatsiooni või kombineerimise – valimise oskus sageli olulisem kui lihtsalt valemite päheõppimine.
