Archimedese seadusmaterjal
Kas olete kunagi laeva näinud? Kui te pole seda päriselt näinud, siis loodetavasti olete seda näinud televisioonis või internetis. Väga suure massiga laev ei upu, samas kui väike ja kerge kivi võib uppuda. Miks see nii on? Vastus on üsna lihtne, kui mõistate ujuvuse ja Archimedese printsiibi mõisteid.
Igapäevaelus leiame, et vedelikku asetatud esemed, näiteks kivi, kaaluvad vähem kui siis, kui objekt ei ole vedelikus. Kivi maapinnalt tõstmine võib olla keeruline, kuid sama kivi on basseini põhjast kergesti tõstetav. See on tingitud ujuvusjõust. Ujuvus tekib vedeliku rõhu erinevuse tõttu erinevatel sügavustel. Vedeliku rõhk suureneb sügavusega – mida sügavam on vedelik, seda suurem on vedeliku rõhk. Kui objekt asetatakse vedelikku, tekib rõhuerinevus objekti kohal ja objekti all oleva vedeliku vahel. Objekti põhjas asuval vedelikul on suurem rõhk kui objekti ülaosas asuval vedelikul.
Ujuvus
Pildil on näha, kuidas objekt hõljub vees. Objekti all oleval vedelikul on suurem rõhk kui objekti kohal oleval vedelikul. See on tingitud asjaolust, et objekti all oleval vedelikul on suurem sügavus kui objekti kohal oleval vedelikul (h2 > h1).
F2 = vedeliku poolt objekti põhjale avaldatav jõud, F1 = vedeliku poolt objekti ülaosale avaldatav jõud, A = objekti pindala
F 2 ja F 1 vahe on vedeliku poolt objektile avaldatav kogujõud, mida me tunneme ujuvusjõuna. Ujuvusjõu suurus on:
F ujuvus = F 2 − F 1
F ujuvus = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F ujuk = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F ujuvus = ρ g A h
F ujuvus = ρ g V
Teave:
ρ = vedeliku tihedus
g = gravitatsioonikiirendus
V = objekti maht vedelikus
nii et võrrandi, mis määrab ülaltoodud ujuvusjõu (F ujuvus) suuruse, saab kirjutada järgmiselt:
F ujukoma = ρ F g V → m = ρ V
F ujuvus = m F g
F ujuvus = w F
m F g = w F = vedeliku kaal, mille maht on sama kui uputatud objekti maht.
Archimedese printsiip
Ülaltoodud võrrandi põhjal võime öelda, et üleslükkejõud on võrdne väljatõrjutud vedeliku kaaluga, väljatõrjutud vedeliku maht on võrdne vedelikku kastetud objekti mahuga.
Kui objekt on vedelikus ja hõljub pinnal, kusjuures ainult osa objektist on vee all, siis võrdub väljatõrjutud vedeliku maht vedelikku uputatud objekti osa mahuga. Olenemata objekti kujust või suurusest, juhtub sama asi kõigi objektidega. See on Archimedese (287–212 eKr) töö, mida nüüd tuntakse Archimedese printsiibina.
Archimedese printsiip ütleb, et:
Kui objekt on täielikult või osaliselt vedelikku kastetud, avaldab vedelik objektile ülespoole suunatud jõudu (ujuv jõud), kus ülespoole suunatud jõu (ujuv jõud) suurus on võrdne väljatõrjutud vedeliku kaaluga.
Archimedese lugu
Archimedes, kes elas aastatel 287–212 eKr, sai kuningas Hieron II-lt ülesandeks uurida, kas kuningale valmistatud kroon oli puhtast kullast. Alguses oli Archimedes segaduses, kas kroon oli puhtast kullast või sisaldas see muid metalle. Probleem oli selles, et kroon oli ebakorrapärase kujuga ja seda ei saanud hävitada, et teha kindlaks, kas see oli puhas kuld.
Selle kindlakstegemise taga, kas kuninga kroon on puhtast kullast, on kõigepealt määrata krooni erikaal ja seejärel võrrelda seda kulla erikaaluga. Kui kroon on valmistatud puhtast kullast, siis krooni erikaal = kulla erikaal.
Objekti erikaal on objekti kaalu suhe õhus sama mahuga vee kaaluga. Matemaatiliselt kirjutatakse see järgmiselt:
Kuidas määrata vee kaalu, mille maht on sama kui objekti maht?
Archimedese järgi on vee kaal, mille ruumala on sama kui objekti ruumala, = ujuvusjõu suurus, kui objekt vajub (kogu objekt on vee all). See on sama, mis objekti kaal, mille ta kaotab vees kaalumisel. Seega:
Krooni erikaalu määramiseks kaalutakse kroon esmalt õhus (Krooni kaal õhus). Seejärel pannakse kroon vette ja kaalutakse uuesti, et saada kaotatud krooni kaal. Seega:
Kui krooni erikaal on saadud, võrreldakse seda kulla erikaaluga. Kulla erikaal on 19,3. Kui krooni erikaal on võrdne kulla erikaaluga, siis on kroon valmistatud puhtast kullast. Kui kroon aga ei ole valmistatud puhtast kullast, siis ei ole krooni erikaal sama, mis kulla erikaal.
Miks laevad ei upu?
Kui objekti tihedus on väiksem kui vee tihedus, siis objekt hõljub. Vastupidi, kui objekti tihedus on suurem kui vee tihedus, siis objekt uppub. Enamik laevu on valmistatud rauast ja terasest. Raua ja terase tihedus = 7,8 x 103 kg /m3 , samas kui vee tihedus = 1,00 x 103 kg /m3 . Näib, et raua ja terase tihedus on suurem kui vee tihedus. Sel juhul on raua ja terase erikaal = 7,8. Rauast ja terasest laevad peaksid uppuma. Miks laevad ei upu? Laeva kogutihedus on väiksem kui vee või merevee tihedus.
Näidisküsimused Archimedese seaduse kohta
Näidisküsimus 1:
Basseini põhjas on 40 kg kaaluv kivi. Kui kivi ruumala = 0,2 m3 , siis milline on minimaalne jõud, mida on vaja kivi tõstmiseks?
Arutelu
On teada, et:
Kivi mass (m) = 40 kg
Kivi maht (V) = 0,02 m3
Vee tihedus = 1000 kg/ m³
Raskuskiirendus (g) = 10 m/ s²
Küsiti: F miinimum
Vastus:
F ujuvus = w F
F ujuvus = m F g → m = pV
F ujuvus = ρ F g V
F ujuvus = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F ujuvus = 200 kg m/ s²
F ujuvus = 200 N
Kivi kaal (w) = mg
Kivi kaal = (40 kg)(10 m/ s² )
Kivi kaal = 400 kg m/ s²
Kivi kaal = 400 N
Kivi tõstmiseks vajalik minimaalne jõud:
Kivi kaal – ujuvusjõud = 400 N – 200 N = 200 njuutonit.
Näidisküsimus 2:
Objekti kaal õhus = 5000 kg m/s² ja objekti kaal vees = 4000 kg m/s² . Kui objekti tihedus = 2000 kg/ m³ , siis milline on objekti mass ja ruumala? g = 10 m/ s²
Arutelu
Raskuskiirendus (g) = 10 m/ s²
Objekti tihedus = 2000 kg/ m³
Vee tihedus = 1000 kg/ m³
Objekti kaal õhus = 5000 kg m/ s²
Objekti kaal vees = 4000 kg m/ s²
Üleslükkejõud (Fbuoiant) = objekti kaal õhus – objekti kaal vees
F ujuvus = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F ujuvus = 1000 kg m/ s²
F ujuvus = väljatõrjutud vee kaal
F ujuvus = (vee mass) (g)
F ujuvus = (väljasurutatud vee maht) (vee tihedus) (g)
Väljasurutatud vee maht = Vette kastetud objekti maht 😉
Seega on objekti ruumala = 0,1 m3
Objekti mass = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Objekti mass = 200 kg
Näidisküsimus 3:
Kui palju heeliumi on vaja, kui õhupall peab tõstma 500 kg raskust koormat?
Arutelu
Heeliumi tihedus = 0,1786 kg/ m³
Õhutihedus = 1,293 kg/ m³
Üleslükkejõud = väljatõrjutud õhu kaal = lasti kaal + heeliumi kaal
Üleslükkejõud = koorma kaal + heeliumi kaal
Üleslükkejõud = (koorma mass)(g) + (heeliumi mass)(g)
Üleslükkejõud = (lasti mass + heeliumi mass) g —- võrrand 1
Üleslükkejõud = väljatõrjutud õhu kaal
Üleslükkejõud = (väljatõrjutud õhu mass)(g) —- võrrand 2
Me ühendame võrrandi 1 ja võrrandi 2:
(lasti mass + heeliumi mass)(g) = (väljatõrjutud õhu mass)(g)
koormuse mass + heeliumi mass = väljatõrjutud õhu mass
500 kg + (ρ heelium)(V heelium) = (ρ õhk)(V õhk)
500 kg = (ρ õhk)(V õhk) – (ρ heelium)(V heelium)
Väljasurutud õhu maht (V õhk) = õhupalli täitva heeliumi maht (V heelium)
500 kg = (ρ õhk – ρ heelium) (V)
See on minimaalne heeliumi maht, mis on vajalik raskuse tõstmiseks Maa pinnal. Selleks, et õhupall saaks kõrgemale hõljuda, tuleb heeliumi mahtu suurendada. Seda seetõttu, et õhutihedus väheneb kõrgusega.
