Vektorid on füüsikas oluline mõiste, mida kasutatakse suuruste esitamiseks nii suuruse kui ka suuna abil. Füüsikas kasutatakse vektoreid sageli mitmesuguste nähtuste, näiteks jõu, kiiruse, kiirenduse ja muu kirjeldamiseks. See artikkel käsitleb mitmeid füüsikaliste vektorülesannete näiteid koos nende lahenduste ja selgitustega.
1. Vektorite liitmine ja lahutamine
Näidisküsimus 1:
Kaks vektorit \(\mathbf{A}\) ja \(\mathbf{B}\) on antud järgmiselt:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Arvuta:
1. \(\matbf{A} + \matbf{B}\)
2. \(\matbf{A} – \matbf{B}\)
Lahendus:
Kahe vektori liitmiseks liidame nende komponendid eraldi.
1. \(\matbf{A} + \matbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3–2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\matematicbf{i} + 9\matematicbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\matbf{A} – \matbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4–5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\imathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Seega on tulemus:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. Skalaarne korrutamine (skalaarkorrutis)
Näidisküsimus 2:
Kaks vektorit \(\mathbf{C}\) ja \(\mathbf{D}\) on antud järgmiselt:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
Arvuta \(\mathbf{C}\) ja \(\mathbf{D}\) skalaarkorrutis (skalaarkorrutis).
Lahendus:
Kahe vektori \(\mathbf{C}\) ja \(\mathbf{D}\) skalaarkorrutis on:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Seega on \(\mathbf{C}\) ja \(\mathbf{D}\) skalaarkorrutise tulemus 26.
3. Ristkorrutis
Näidisküsimus 3:
Kaks vektorit \(\mathbf{E}\) ja \(\mathbf{F}\) on antud järgmiselt:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
Arvutage \(\mathbf{E}\) ja \(\mathbf{F}\) vektorkorrutis.
Lahendus:
Kahe vektori \(\mathbf{E}\) ja \(\mathbf{F}\) vektorkorrutist saab arvutada maatriksi determinandi abil:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 ja 2 ja 3 \\
4, 5 ja 6
\end{vmatrix}
\]
Arvutage maatriksi determinant:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 4)
\]
\[
= \mathbf{i} (12–15) – \mathbf{j} (6–12) + \mathbf{k} (5–8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Seega on \(\mathbf{E}\) ja \(\mathbf{F}\) vektorkorrutise tulemus:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. Vektori suurusjärk
Näidisküsimus 4:
Antud vektor \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\). Arvutage vektori \(\mathbf{G}\) suurus (pikkus).
Lahendus:
Vektori \(\mathbf{G}\) suurust saab arvutada järgmise valemi abil:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= ∫qrt{9 + 16}
\]
\[
= ∫qrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Seega on vektori \(\mathbf{G}\) suurus 5.
5. Vektorresolutsioon
Näidisküsimus 5:
Vektori \(\mathbf{H}\) suurus on 10 ühikut ja see moodustab x-teljega 30° nurga. Määrake vektori \(\mathbf{H}\) komponendid x- ja y-teljel.
Lahendus:
Vektori \(\mathbf{H}\) komponente x- (\(\mathbf{H}_x\)) ja y- (\(\mathbf{H}_y\)) telgedel saab arvutada trigonomeetria abil:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \sin(\teeta)
\]
Kus on θ = 10 ja θ = 30°:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]
Väärtused \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ja \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Seega on vektori \(\mathbf{H}\) komponendid järgmised:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]
Järeldus
Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid füüsikalisi vektoritega seotud näidisülesandeid, alates vektorite liitmisest ja lahutamisest, skalaarist ja ristkorrutamisest kuni vektori suuruse ja lahutusvõimeni. Vektorite mõiste ja toimimise mõistmine on füüsikas ülioluline, sest paljusid loodusnähtusi saab vektorite abil selgitada. Loodetavasti aitavad need näidisülesanded teil vektorite mõistet sügavamalt mõista.
