Näidisküsimused veeruvektorite ja ridavektorite kohta
Matemaatikas, eriti lineaaralgebras, on vektorid põhimõiste, mida sageli kasutatakse erinevates rakendustes, alates füüsikalisest modelleerimisest kuni arvutamiseni. Veergvektorid ja reavektorid on kaks vektori esituse vormi, millel mõlemal on oma omadused ja kasutusalad. See artikkel käsitleb näidisülesandeid ja nende lahendusi, mis hõlmavad veergvektoreid ja reavektoreid.
Veergvektori ja reavektori definitsioon
Enne kui asume näidisküsimuste ja nende arutamise juurde, vaatame kõigepealt üle veeruvektorite ja ridavektorite põhimääratlused.
– Veergvektorid on vektorid, mis on paigutatud veergu, st ühte vertikaalsesse dimensiooni. Näide:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmaatriks}
\]
– Rea vektorid on vektorid, mis on paigutatud ridadesse, st ühes horisontaalses dimensioonis. Näide:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 ja 1 ja 7 \end{pmatrix}
\]
Näide 1: Veergude vektorite lisamine
Küsimus:
Arvestades järgmisi kahte veeruvektorit:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmaatriks}
\]
Arvuta kahe veeruvektori summa.
Lahendus:
Kahe veeruvektori liitmine toimub nende vastavate elementide liitmise teel.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmaatriks}
\]
Seega on \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) summa \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \\ end{pmatrix}\).
Näidisküsimus 2: Rea vektorite liitmine
Küsimus:
Arvestades järgmisi kahte reavektorit:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 ja 4 ja 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 ja 3 ja 5 \end{pmatrix}
\]
Arvuta kahe rea vektori summa.
Lahendus:
Kahe rea vektori liitmine toimub vastavate elementide liitmise teel.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 ja 4 ja 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 ja 3 ja 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 ja 4 + 3 ja 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 ja 7 ja 11 \end{pmatrix}
\]
Seega on \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) summa \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Näide 3: Skalaarne korrutamine veeruvektoritega
Küsimus:
Antud on veeruvektor \(\mathbf{c}\) ja skalaar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Arvutage skalaarse korrutamise tulemus.
Lahendus:
Skalaari korrutamine veeruvektoriga toimub vektori iga elemendi korrutamisel skalaariga.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 korda -3
2 korda 4
2 korda 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6
8 \\
10
\end{pmaatriks}
\]
Seega skalaari \(2\) korrutamine veeruvektoriga \(\mathbf{c}\) on \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Näidisküsimus 4: skalaarne korrutamine reavektoritega
Küsimus:
Antud on reavektor \(\mathbf{d}\) ja skalaar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Arvutage skalaarse korrutamise tulemus.
Lahendus:
Skalaari korrutamine reavektoriga toimub vektori iga elemendi korrutamisel skalaariga.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Seega skalaari \(-3\) korrutamine reavektoriga \(\mathbf{d}\) on \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Näide 5: Maatriksi \(1 \times 3\) korrutamine \(3 \times 1\)-ga (reavektor veeruvektoriga)
Küsimus:
Antud reavektor \(\mathbf{e}\) ja veeruvektor \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmaatriks}
\]
Arvuta kahe vektori korrutis.
Lahendus:
Maatriksite korrutamiseks käsitletakse reavektorit \(\mathbf{e}\) \(1 \x 3\) maatriksina ja veeruvektorit \(\mathbf{f}\) \(3 \x 1\) maatriksina. Selle korrutamise tulemuseks on skalaar, nimelt vastavate elementide korrutiste summa:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 korda 5) + (-1 korda 3) + (4 korda -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Seega rea vektori \(\mathbf{e}\) ja veeru vektori \(\mathbf{f}\) korrutamise tulemus on \(-1\).
Näide 6: Maatriksi \(3 \x 1\) korrutamine \(1 \x 3\)-ga (veeruvektor reavektoriga)
Küsimus:
Antud on veeruvektor \(\mathbf{g}\) ja reavektor \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 ja 5 ja 6 \end{pmatrix}
\]
Arvuta kahe vektori korrutis.
Lahendus:
Veergvektori maatriksi korrutamine reavektoriga annab tulemuseks (\(3 \x 1\)) maatriksi, mis on korrutatud (\(1 \x 3\))-ga, mis omakorda annab tulemuseks \(3 \x 3\) maatriksi. Iga uus element on vastavate elementide korrutis:
\[
g) ja h) = begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 ja 5 ja 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 korda 4 ja 1 korda 5 ja 1 korda 6
2 korda 4 ja 2 korda 5 ja 2 korda 6
3 korda 4 ja 3 korda 5 ja 3 korda 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 ja 5 ja 6 \\
8 ja 10 ja 12 \\
12, 15 ja 18
\end{pmaatriks}
\]
Seega veeruvektori \(\mathbf{g}\) ja reavektori \(\mathbf{h}\) korrutamise tulemus on maatriks:
\[
\begin{pmatrix}
4 ja 5 ja 6 \\
8 ja 10 ja 12 \\
12, 15 ja 18
\end{pmaatriks}
\]
Järeldus
Selles artiklis oleme näinud mitmeid näiteid veeru- ja reavektorite kohta. Nii veeru- kui ka reavektorite liitmine saavutatakse nende vastavate elementide liitmise teel. Skalaari korrutamine vektoriga saavutatakse samuti vektori iga elemendi korrutamisel skalaariga. Lõpuks oleme õppinud, kuidas rea- ja veeruvektoreid korrutada, saades kas skalaari või maatriksi, olenevalt nende järjekorrast. Nende põhiliste tehte valdamine on ülioluline keerukamate rakenduste jaoks lineaaralgebras ja andmeanalüüsis.
