Näidisküsimused kahemõõtmeliste vektorite kohta koordinaatsüsteemis
Vektor on suurus, millel on nii suurus kui ka suund. Vektoreid kasutatakse sageli erinevates matemaatika ja füüsika teemades erinevate nähtuste kujutamiseks. Selles artiklis käsitleme kahemõõtmeliste vektorite näiteid koordinaatsüsteemis.
Vektorite põhimõisted koordinaatsüsteemides
Kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis olevat vektorit saab esitada kujul \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), kus \(a_1\) on vektori x-komponent ja \(a_2\) on vektori y-komponent. Vektori saab jagada kaheks komponendiks, nimelt x-komponendiks ja y-komponendiks.
Vektorite liitmine ja lahutamine
Kahe vektori \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ja \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) liitmine on:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Kuigi vähendamine on:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Skalaarne korrutamine
Kui \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ja \(k\) on skalaar, siis \(k\vec{A}\) on:
\[
k\vec{A} = (k\cdot a_1, k\cdot a_2)
\]
Vektori suurusjärk
Vektori \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) suurus ehk pikkus on:
\[
|\vec{A}| = √(a_1^2 + a_2^2)}
\]
Ühikvektor
Ühikvektor on vektor, mille pikkus on üks ühik. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ühikvektor on:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1: Vektorite liitmine ja lahutamine
Antud on kaks vektorit järgmiselt: \(\vec{A} = (3, 4)\) ja \(\vec{B} = (1, 2)\). Leia \(\vec{A} + \vec{B}\) ja \(\vec{A} – \vec{B}\) korrutis.
Arutelu:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Küsimus 2: Skalaarne korrutamine
Arvestades vektorit \(\vec{C} = (2, -3)\), arvuta \(3\vec{C}\) ja \(-2\vec{C}\).
Arutelu:
\[
3\vec{C} = 3\cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot(2, -3) = (-4, 6)
\]
Küsimus 3: Vektori suurusjärk
Arvutage vektori \(\vec{D} = (5, 12)\) suurus.
Arutelu:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Küsimus 4: Ühikvektorid
Leia vektori \(\vec{E} = (4, 3)\) ühikvektor.
Arutelu:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
∫\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Küsimus 5: Vektorite asukoht ja kaugus
Kahemõõtmelisel koordinaattasandil asuvad kaks punkti on P(2, 3) ja Q(5, 7). Määrake asukohavektor punktist P punkti Q ja nende vaheline kaugus.
Arutelu:
Positsioonivektor punktist P punkti Q on:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5–2, 7–3) = (3, 4)
\]
Punktide P ja Q vaheline kaugus on:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Küsimus 6: Skalaarkorrutise tulemus
Kui \(\vec{F} = (-3, 4)\) ja \(\vec{G} = (2, 1)\), siis arvuta \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) skalaarkorrutis.
Arutelu:
Kahe vektori skalaarkorrutis on:
\[
\\vec{F} \\cdot \\vec{G} = (-3) \\cdot 2 + 4 \\cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Küsimus 7: Kahe vektori vaheline nurk
Kui \(\vec{H} = (7, -4)\) ja \(\vec{I} = (3, 0)\), siis määrake kahe vektori vaheline nurk.
Arutelu:
Kahe vektori vahelise nurga määramiseks kasutame valemit:
\[
\cos \teeta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Esmalt arvutage skalaarkorrutis \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Seejärel arvutage \(\vec{H}\) ja \(\vec{I}\) suurused:
\[
|\vec{H}| = ∫qrt{7^2 + (-4)^2} = ∫qrt{49 + 16} = ∫qrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = ∫qrt{3^2 + 0^2} = ∫qrt{9} = 3
\]
Sisestage need väärtused valemisse:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Seega, θheta = ∫cos^{-1} ( ∫frac{7}{65})).
Küsimus 8: Vektorprojektsioon
Vektorite \(\vec{J} = (2, 1)\) ja \(\vec{K} = (-1, 3)\) jaoks arvutage \(\vec{J}\) projektsioon \(\vec{K}\) pinnale.
Arutelu:
J projektsioon K-le on:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Esmalt arvutage skalaarkorrutis \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vect{J} \vect{K} = 2 \vect (-1) + 1 \vect 3 = -2 + 3 = 1
\]
Seejärel suurusjärk \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = ∫qrt{(-1)^2 + 3^2} = ∫qrt{1 + 9} = ∫qrt{10}
\]
Seega, et:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Sisesta valemisse:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( - \frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Need on näited probleemidest ja aruteludest, mis on seotud kahemõõtmeliste vektoritega koordinaatsüsteemis. Vektorite hea mõistmine võib olla abiks paljudes matemaatika, füüsika ja inseneriteaduse rakendustes. Erinevate näidetega harjutamine võib süvendada teie arusaamist sellest kontseptsioonist, võimaldades seda tõhusalt rakendada erinevates olukordades.
