Näidisküsimused ja arutelu: üksikandmete dispersioon ja standardhälve
Statistika on matemaatika haru, mis tegeleb andmete kogumise, analüüsi, tõlgendamise, esitamise ja korraldamisega. Statistikas on kaks olulist mõistet dispersioon ja standardhälve. Selles artiklis käsitletakse mitme näidisülesande abil üksikasjalikult, kuidas arvutada ühe andmekogumi dispersiooni ja standardhälvet.
Dispersiooni ja standardhälbe mõistmine
Dispersioon on mõõt, mis kvantifitseerib, kui palju andmekogumis olevad arvud keskmisest või keskmisest erinevad. Dispersiooni väljendatakse algandmete ruutühikutes, mistõttu on seda sageli raske tõlgendada.
Standardhälve on dispersiooni ruutjuur. See annab intuitiivsema ülevaate sellest, kui palju andmed üldiselt keskmisest kõrvale kalduvad, kuna selle ühikud on samad, mis andmete algsed ühikud.
Üldine valem
Üksikandmete puhul on populatsiooni dispersiooni \(\sigma^2 \) ja standardhälbe \(\sigma \) valem järgmine:
1. Dispersioon (σ²):
\(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standardhälve (σ):
\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Kus:
– \(N \) on andmete arv populatsioonis.
– \(x_i \) on i-s andmeväärtus.
– \( \mu \) on andmete keskmine või keskmine.
Kui arvutame valimi dispersiooni ja standardhälbe, siis ülaltoodud valemit veidi muudetakse:
1. Valimi dispersioon (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Valimi standardhälve(d):
(s = ∫qrt{\frac{1}{n-1} ∫_{i=1}^{n} (x_i – ∫_bar{x})^2})
Kus:
– \(n \) on valimis olevate andmete arv.
– \( \bar{x} \) on valimi keskmine või keskmine.
Näidisküsimused ja arutelu
Näidisküsimus 1:
Arvestades järgmisi andmeid:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Arvuta andmete dispersioon ja standardhälve!
Lahenduse sammud:
1. Keskmise (mean) arvutamine \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Arvutage andmete ja keskmise vahe ning seejärel ruut:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Kõigi ruudukujuliste tulemuste liitmine:
\[
\summa (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Populatsiooniandmete dispersiooni (σ²) arvutamine:
\[
ηρητ² = ηρητικητικητικης = 3.559
\]
Märkus: Kuna need andmed on esitatud rahvaarvuna, jagame need 6-ga.
5. Standardhälbe (σ) arvutamine:
\[
η = η 3.559 ∫qrt ∫ umbes 1.886
\]
Seega on andmete dispersioon 3.559 ja standardhälve 1.886.
Näidisküsimus 2:
Arvestades järgmisi näidisandmeid:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Arvuta valimi dispersioon ja standardhälve!
Lahenduse sammud:
1. Keskmise (mean) arvutamine \( \bar{x} \):
\[
η = η 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = η 49}{6} = 8.167
\]
2. Arvutage andmete ja keskmise vahe ning seejärel ruut:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Kõigi ruudukujuliste tulemuste liitmine:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Valimi dispersiooni (s²) arvutamine:
\[
s^2 = ∫frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Märkus: Kuna tegemist on näidisandmetega, jagame need 5-ga (n-1).
5. Standardhälbe (de) arvutamine:
\[
s = ∫qrt{5.351} \ligikaudu 2.313
\]
Seega on valimiandmete dispersioon 5.351 ja standardhälve 2.313.
Järeldus
Dispersiooni ja standardhälbe arvutamine on oluline, et mõista, kui hajutatud on andmed antud andmekogumis. Kui dispersioon annab teoreetilise mõõdu dispersioonile algsete ühikute ruutudena, siis standardhälve tõlgendab dispersiooni mõõtu andmete algsete ühikute suhtes, muutes selle mõistmise lihtsamaks. Andmeanalüüsis kasutatakse neid kahte mõõdikut sageli andmete varieeruvuse hindamiseks ja statistiliste otsuste tegemiseks.
Vajalike sammude ja valemite mõistmise abil saame hõlpsalt arvutada dispersiooni ja standardhälbe erinevates olukordades, millega igapäevasel andmete kogumisel ja analüüsimisel kokku puutume. Loodetavasti annab see artikkel sügavama arusaama dispersiooni ja standardhälbe mõistetest üksikute andmekogumite puhul.
