Näidisküsimused ja äärmuspunktide arutelu: minimaalne ja maksimaalne tootlusväärtus
Ekstreemsete punktide ehk punktide, kus funktsioon saavutab oma minimaalse või maksimaalse väärtuse, määramine on matemaatilise analüüsi ja arvutuse põhimõiste. Selles artiklis uurime, kuidas leida ja analüüsida ekstreemseid punkte mitme näiteülesande abil, mis hõlmavad minimaalseid ja maksimaalseid tagastusväärtusi.
Teema definitsioonid ja teoreemid
Enne näidisülesannete arutamist peame mõistma mõningaid põhimõisteid ja teoreeme:
1. Kriitiline punkt: Kas funktsiooni \(x \) väärtus on selline, kus funktsiooni \(f(x) \) esimene tuletis \(f'(x) \) on null või seda ei eksisteeri.
2. Maksimaalne tagastusväärtus: Kas f(x) väärtus on suurem kui f(x) väärtus selle punkti ümber.
3. Minimaalne tagastusväärtus: Kas f(x) väärtus on väiksem kui f(x) väärtus selle punkti ümbruses.
4. Fermat' teoreem: Kui f-l on lokaalne äärmusväärtus punktis c ja tuletis f'(c) eksisteerib, siis f'(c) = 0.
Näidisküsimus 1: Ruutvfunktsioonid
Esmalt alustame lihtsa ruutfunktsiooniga:
\[f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Sammud:
1. Leidke funktsiooni f'(x) esimene tuletis:
\[
f'(x) = ∫\frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Leidke kriitilised punktid, lahendades funktsiooni f'(x) = 0):
\[
4x – 4 = 0 = 0, mis tähendab, et x = 1
\]
3. Määrake funktsiooni väärtus kriitilises punktis:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Punkti olemuse määramiseks kasutage teist tuletist:
\[
f”(x) = ∫frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Kuna η (f) > 0, siis punkt η = 1 on lokaalne miinimumpunkt.
Näidisküsimus 2: Polünoomfunktsioonid
Proovime nüüd keerukamat polünoomfunktsiooni:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Sammud:
1. Määrake esimene tuletis (g'(x)):
\[
g'(x) = ∫\frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Leidke kriitilised punktid, lahendades \(g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \\ tähendab, et 3x(x – 2) = 0 \\ tähendab, et x = 0 \\text{ või } x = 2
\]
3. Määrake funktsiooni väärtus kriitilises punktis:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Punkti olemuse määramiseks kasutage teist tuletist:
\[
g”(x) = ∫\frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{lokaalne maksimaalne väärtus})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{lokaalne miinimumväärtus})
\]
Seega, Σ(x) omab lokaalset maksimumi punktis x = 0 ja lokaalset miinimumi punktis x = 2.
Näidisküsimus 3: Transtsendentaalsed funktsioonid
Vaatleme funktsiooni, mis hõlmab astendamist:
_[h(x) = xe^{-x} _]
Sammud:
1. Määrake esimene tuletis (h'(x)):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. Leidke kriitiline punkt, lahendades \(h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 ≈ 1 – x = 0 ≈ x = 1
\]
3. Määrake funktsiooni väärtus kriitilises punktis:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Punkti olemuse määramiseks kasutage teist tuletist:
\[
h”(x) = ∫\frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1–2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Kuna \(h”(1) < 0 \), siis punkt \(x = 1 \) on lokaalne maksimum. Näidisülesanne 4: Ratsionaalfunktsioonid Lõpuks hindame ratsionaalfunktsiooni: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] Sammud: 1. Leidke esimene tuletis jagatisreegli abil: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Leidke kriitilised punktid, lahendades \(k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \parast x^2 - 2 = 0 \parast x = \pm \sqrt{2} \] 3. Määrake funktsiooni väärtus kriitilises punktis: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Punkti omaduste kontrollimiseks kasutage teist tuletist: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Edasiseid arvutusi saab teha \(k'(x) \) diferentseerimise teel. Tulemused näitavad, kas \(x = \sqrt{2} \) ja \(x = -\sqrt{2} \) on lokaalsed maksimum- või miinimumpunktid. Kokkuvõte Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid näidisülesandeid, mis demonstreerivad, kuidas leida ekstreemum, st minimaalne ja maksimaalne pöördväärtus. erinevat tüüpi funktsioonide väärtused. Kasutatavate meetodite hulka kuulub esimese tuletise leidmine kriitiliste punktide leidmiseks, teise tuletise kasutamine punktide olemuse määramiseks ja funktsiooni hindamine nendes punktides. See on kindel alus sügavamaks sukeldumiseks funktsionaalanalüüsi matemaatikasse.
