Näidisküsimused kolme trigonomeetrilise suhte kohta
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib kolmnurkade pikkuste ja nurkade vahelist seost. Üks trigonomeetria põhimõisteid on trigonomeetrilised suhted: siinus (sin), koosinus (cos) ja tangens (tangen). See artikkel käsitleb mitmeid näidisülesandeid ja trigonomeetriliste suhete põhjalikku arutelu, et hõlbustada teie arusaamist.
1. Kolme trigonomeetrilise suhte mõistmine
Kõigepealt selgitame välja, mida mõeldakse siinuse, koosinuse ja tangensi all.
– Nurga siinus (sinus) on nurga vastaskülje pikkuse ja kolmnurga hüpotenuusi pikkuse suhe.
– Nurga koosinus (cos) on nurga lähima külje pikkuse ja kolmnurga hüpotenuusi pikkuse suhe.
– Nurga puutuja (tan) on nurga vastaskülje ja naaberkülje pikkuse suhe. Puutujat saab väljendada ka siinuse ja koosinuse jagatisena: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1:
Antud on täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 10 cm ja vastaskülg nurk θ on 6 cm. Määrake nurga θ sin, cos ja tan väärtused.
Arutelu:
Sin(θ), cos(θ) ja tan(θ) väärtuste leidmiseks peame teadma ka külgneva külje pikkust. Kasutame külgneva külje pikkuse leidmiseks Pythagorase teoreemi.
Pythagorase teoreem:
a^2 + b^2 = c^2
kus c on hüpotenuus, a on nurga vastaskülg ja b on nurga lähikülg.
Arvestades:
– Hüpotenuus (c) = 10 cm
– Nurga θ (a) esikülg = 6 cm
Seega:
a^2 + b^2 = c^2
\[6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[36 + b^2 = 100 \]
\[b^2 = 64 \]
\[b = \qrt{64} \]
\[ b = 8 \]
Seega on külje (b) pikkus 8 cm.
Seejärel saame arvutada siinuse, koosinuse ja tangensi väärtused:
– Patt(θ) = vastaskülg / hüpotenuus
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = Külg Külg / Hüpotenuus
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Tan(θ) = Esikülg / Külgkülg
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
Küsimus 2:
Antud on täisnurkne kolmnurk, mille nurga α vastaskülje pikkus on 5 cm ja nurga α kõrvalkülje pikkus on 12 cm. Leia nurga α sin, cos ja tan väärtused.
Arutelu:
Nii nagu esimeses küsimuses, kasutame hüpotenuusi pikkuse leidmiseks Pythagorase teoreemi.
Arvestades:
– Nurga α (a) esikülg = 5 cm
– Nurga α (b) külg = 12 cm
Kasutage Pythagorase teoreemi:
a^2 + b^2 = c^2
\[5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[25 + 144 = c^2 \]
\[169 = c^2 \]
\[c = \qrt{169} \]
\[ c = 13 \]
Seega on hüpotenuusi (c) pikkus 13 cm.
Seejärel saame arvutada siinuse, koosinuse ja tangensi väärtused:
– Patt(α) = vastaskülg / hüpotenuus
\[ \sin(α) = \frac{5}{13} \]
– Cos(α) = Külg Külg / Hüpotenuus
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Tan(α) = Esikülg / Külg
\[ \tan(α) = \frac{5}{12} \]
Küsimus 3:
Kui on teada, et sin β = 0.6 ja nurk β asub I kvadrandis, siis leia cos β ja tan β väärtused.
Arutelu:
Arvestades sin β = 0.6
Me teame, et I kvadrandis on cos β väärtus samuti positiivne.
Kasutage trigonomeetriliste põhiidentiteetide järjestust:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
\[0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ \cos^2(β) = 1 – 0.36 \]
\[ \cos^2(β) = 0.64 \]
\[ \cos(β) = \qrt{0.64} \]
\[ \cos(β) = 0.8 \]
Seejärel saame arvutada tangensi väärtuse:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
\[ \tan(β) = 0.75 \]
3. Kesimpulan
Trigonomeetrilise kolmnurga (sin, cos, tan) mõiste on trigonomeetria üldise mõistmise seisukohalt ülioluline. Mõistes, kuidas leida ja arvutada neid kolme väärtust erinevat tüüpi kolmnurkades, saate lahendada mitmesuguseid trigonomeetriaülesandeid. Ülaltoodud probleemid peaksid aitama teil mõista, kuidas neid mõisteid erinevates kontekstides rakendada.
Trigonomeetria põhjalik mõistmine aitab sul ka matemaatika ja loodusteaduste edasijõudnutele mõeldud teemasid, näiteks matemaatikat ja füüsikat, paremini omandada. Ära kõhkle nende mõistete harjutamise ja mõistmise süvendamise jätkamisest, et saavutada kõrgem oskuste tase.
