Näide lineaarvõrrandisüsteemi käsitlevast aruteluküsimusest
Lineaarvõrrandisüsteemid (SLE) on fundamentaalne mõiste, mida sageli õpetatakse matemaatikas nii kesk- kui ka kõrghariduse tasemel. SLE valdamine on ülioluline tänu selle laialdasele rakendamisele erinevates valdkondades, alates füüsikast ja majandusest kuni inseneriteaduseni. Selles artiklis käsitleme mitmeid lineaarvõrrandisüsteemide ja nende lahendite näiteid. Arusaamise hõlbustamiseks kasutame asendus-, elimineerimis- ja maatriksmeetodeid.
Näidisküsimused ja arutelu
Näidisküsimus 1: Asendusmeetod
Küsimus:
Lahenda järgmine võrrandisüsteem asendusmeetodi abil:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Lahendus:
1. Esimene samm on lahendada üks võrranditest ühe muutuja jaoks. Näiteks saame lahendada teise võrrandi \(x\) jaoks:
\[x – 2y = -3 \]
\[x = 2y – 3 \]
2. Asendage esimesse võrrandisse \(x = 2y – 3\):
\[2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[4a – 6 + 3a = 8 \]
\[7a – 6 = 8 \]
\[7a = 14 \]
\[y = 2 \]
3. Asendage nüüd võrrandisse x = 2y – 3 y = 2y:
\[x = 2(2) – 3 \]
\[ x = 4 – 3 \]
\[ x = 1 \]
Seega on võrrandisüsteemi lahend x = 1 ja y = 2.
Näidisküsimus 2: Elimineerimismeetod
Küsimus:
Lahendage järgmine võrrandisüsteem elimineerimismeetodi abil:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Lahendus:
1. Esimene samm on muuta ühe muutuja kordaja mõlemas võrrandis samaks. Teist võrrandit saab korrutada kahega, et muuta \(y\) kordaja samaks:
\[2(5x – y) = 2(9) \]
\[10x – 2y = 18 \]
2. Liitke kaks võrrandit, et elimineerida \(y\):
\[ 3x + 2 a + 10x – 2 a = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
3. Asendage esimesse võrrandisse \(x = \frac{30}{13} \):
\[3\vasak(\frac{30}{13}\parem) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[2y = \frac{66}{13} \]
\[y = \frac{33}{13} \]
Seega on võrrandisüsteemi lahendid x = ∑30° ja y = ∑33°.
Näidisküsimus 3: Maatriksimeetod (Gaussi eliminatsioon)
Küsimus:
Lahendage järgmine võrrandisüsteem maatriksmeetodi abil:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Lahendus:
1. Võrrandisüsteemi liitmaatrikskuju:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
2 ja -1 ja 3 ja | ja 14 \\
4 ja 2 ja -1 ja | ja 2
\end{pmatrix} \]
2. Gaussi elimineerimisprotsess:
– Muuda teine rida teise rea tulemuseks, millest on lahutatud esimese rea kahekordne väärtus:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
0 ja -3 ja 1 ja | ja 2 \\
4 ja 2 ja -1 ja | ja 2
\end{pmatrix} \]
– Muuda kolmas rida kolmanda rea tulemuseks, millest on lahutatud esimese rea tulemus neli korda:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
0 ja -3 ja 1 ja | ja 2 \\
0 ja -2 ja -5 ja | ja -22
\end{pmatrix} \]
– Muuda kolmas rida kolmanda rea ja teise rea kahe kolmandiku liitmise tulemuseks:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
0 ja -3 ja 1 ja | ja 2 \\
0 ja 0 ja -4 ja | ja -20
\end{pmatrix} \]
– Muutke kolmas rida kolmanda rea tulemuseks, mis on jagatud -4-ga:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
0 ja -3 ja 1 ja | ja 2 \\
0 ja 0 ja 1 ja | ja 5
\end{pmatrix} \]
– Teisenda teine rida teise rea ja kolmanda rea summaks:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
0 ja -3 ja 0 ja | ja -3 \\
0 ja 0 ja 1 ja | ja 5
\end{pmatrix} \]
– Muuda teine rida teise rea tulemuseks, mis on jagatud -3-ga:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 1 ja 1 ja | ja 6 \\
0 ja 1 ja 0 ja | ja 1 \\
0 ja 0 ja 1 ja | ja 5
\end{pmatrix} \]
– Muutke esimene rida esimese rea tulemuseks, millest on lahutatud teine ja kolmas rida:
\[ \begin{pmatrix}
1 ja 0 ja 0 ja | ja 0 \\
0 ja 1 ja 0 ja | ja 1 \\
0 ja 0 ja 1 ja | ja 5
\end{pmatrix} \]
Seega on võrrandisüsteemi lahendid x = 0, y = 1 ja z = 5.
Järeldus
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise meetodite mõistmine on matemaatika valdamiseks ülioluline. Asendus-, elimineerimis- ja maatriksmeetodid pakuvad erinevaid lähenemisviise õige lahenduse leidmiseks. Järjepideva harjutamise ja kontseptsioonide kindla mõistmise abil saab igaüks neid tehnikaid omandada ja rakendada neid erinevates kontekstides. Loodetavasti aitavad selles artiklis käsitletud näited lugejatel lineaarvõrrandisüsteeme paremini mõista ja omandada.
