Näidisküsimused ja määratud integraalide omaduste arutelu
Määratud integraal on matemaatilise analüüsi põhimõiste, mis on äärmiselt kasulik paljudes rakendustes matemaatikas, füüsikas ja inseneriteaduses. Selles artiklis selgitame määratud integraali mõningaid olulisi omadusi ning pakume näiteid ja lahendusi, et teie teemast paremini aru saada.
Määratud integraalide omadused
Enne näidisülesannete juurde asumist vaatame üle mõned kindlate integraalide põhiomadused, mida on oluline teada:
1. Lineaarsuse omadus:
– Kui f(x) ja g(x) on integreeritavad funktsioonid ning a ja b on konstandid, siis:
\[
∫_a^b [af(x) + bg(x)] ∫_a^bf(x), dx + b ∫_a^bg(x), dx.
\]
2. Konstandi integraal:
– Kui \(c \) on konstant, siis:
\[
∫a^bc = dx = c(b – a).
\]
3. Intervallide liitmise omadused:
\[
∫_a^cf(x) = dx + ∫_c^bf(x) = dx = ∫_a^bf(x) = dx
\]
4. Piirangute tühistamine:
\[
∫_a^bf(x) = ∫_baf(x), dx
\]
5. Null samal piiril:
\[
_int_a^af(x) _, dx = 0
\]
Näidisküsimus 1: Lineaarsuse omaduse kasutamine
Probleemide näide:
Arvutage väärtus:
\[
int_0^2 (3x^2 + 2x) dx
\]
Arutelu:
Integraali kaheks jagamiseks kasutage lineaarsuse omadust:
\[
int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = int_0^2 3x^2 \, dx + int_0^2 2x \, dx
\]
Arvutame esimese integraali:
\[
int_0^2 3x^2 dx
\]
\[
= 3 ∫_0^2 x^2 ∫, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]
Nüüd arvutame teise integraali:
\[
int_0^2 2x dx
\]
\[
= 2 ∫_0^2 x dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \left( 1 – 0 \right)
\]
\[
= 2
\]
Kombineeri kaks tulemust:
\[
int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
Näidisküsimus 2: Konstandi integraal
Probleemide näide:
Arvutage väärtus:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Arutelu:
Konstantide integraalset omadust kasutades saame kirjutada:
\[
int_1^4 5 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
Näidisküsimus 3: Piirväärtuse muutuse omadused
Probleemide näide:
Tõesta, et:
\[
int_2^5 x^2 , dx = – int_5^2 x^2 , dx
\]
Arutelu:
Alustame integraaliga η intervallil η([2, 5]):
\[
int_2^5 x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= ∫²⁻³ – ∫¹⁻³
\]
\[
= ∫\frac{125}{3} – ∫\frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Arvutame nüüd funktsiooni \(x^2 \) integraali intervallil \([5, 2] \) ja pöörame vastuse märgi ümber:
\[
int_5^2 x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= ∫²⁻³ – ∫¹⁻³
\]
\[
= ∫\frac{8}{3} – ∫\frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
On tõestatud, et:
\[
∫_2^5 x^2 ∫, dx = – ∫_5^2 x^2 ∫, dx.
\]
Näidisküsimus 4: Intervallide liitmise omadused
Probleemide näide:
Kui \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) ja \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) on teada, siis arvuta \(\int_2^6 f(x) \, dx\) väärtus.
Arutelu:
Intervallide liitmise omaduse kasutamine:
\[
∫_2^6 f(x) ∫, dx = ∫_2^4 f(x) ∫, dx + ∫_4^6 f(x) ∫, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Järeldus
Määratud integraalil on palju olulisi omadusi, mis aitavad meil erinevat tüüpi ülesandeid tõhusamalt lahendada. Selles artiklis oleme arutanud mõningaid neist põhiomadustest ja toonud näiteid, mis näitavad, kuidas neid omadusi praktikas rakendada. Piisava arusaamise ja harjutamisega suudate määratud integraali ülesandeid suurema kindlusega lahendada.
