Näidisküsimused musta keha kiirguse kohta
Musta keha kiirgus on üks füüsika, eriti kvantfüüsika ja termodünaamika, kõige fundamentaalsemaid mõisteid. Selles artiklis käsitleme musta keha kiirguse definitsiooni ja sellega seotud seaduspärasusi ning toome näiteid ja arutelusid selle mõiste edasiseks selgitamiseks.
Musta keha kiirguse mõistmine
Must keha on teoreetiline objekt, mis neelab kogu seda tabava elektromagnetkiirguse, peegeldamata või edastamata laineid. See omadus muudab mustad kehad oluliseks soojuskiirguse uurimisel. Praktikas musti kehasid tegelikult ei eksisteeri, kuid sellised materjalid nagu süsinikmust on sellele omadusele ligilähedaselt sarnased.
Mustkeha kiirgus on täiusliku musta keha kiirgav kiirgus. See kiirgus sõltub ainult objekti temperatuurist ja seda kirjeldatakse mustakeha kiirgusspektriga, mis temperatuuri tõustes lüheneb lainepikkuste suunas.
Musta keha kiirguse seadused
Musta keha kiirguse analüüsimisel kasutatakse mitmeid olulisi seadusi:
1. Plancki seadus:
See seadus kirjeldab musta keha kiirguse spektraalset jaotust ja selle võttis kasutusele Max Planck 1900. aastal. Valem on:
\[
I(\lambda, T) = ∫(2hc^2}{\lambda^5} ∫(1e^{\frac{hc}{\lambda kT}} – 1)
\]
Kus:
– \(I(\lambda, T) \) = kiirguse intensiivsus lainepikkusel \(\lambda\) ja temperatuuril \(T\)
– \(h\) = Plancki konstant (6.62607015 × 10^-34 Js)
– \(c\) = valguse kiirus vaakumis (3 × 10^8 m/s)
– \(\lambda\) = lainepikkus
– \(k\) = Boltzmanni konstant (1.380649 × 10^-23 J/K)
– \(T\) = musta keha temperatuur kelvinites
2. Wieni seadus:
Wieni seadus määrab lainepikkuse antud temperatuuril maksimaalse intensiivsuse juures ja see on antud järgmise valemiga:
\[
θερητι = θερητικης (T)
\]
Kus:
– \(\lambda_{max}\) = maksimaalne lainepikkus
– \(T\) = musta keha temperatuur kelvinites
– \(b\) = Wieni nihkekonstant (2.8977719 × 10^-3 m K)
3. Stefan-Boltzmanni seadus:
See seadus sätestab, et musta keha poolt pindalaühiku kohta kiiratav koguenergia on võrdeline selle absoluuttemperatuuri neljanda astmega:
\[
P = ∫πρ T^4
\]
Kus:
– \(P\) = võimsus pindalaühiku kohta
– \(T\) = musta keha temperatuur kelvinites
– \(\sigma\) = Stefan-Boltzmanni konstant (5.670374419 × 10^-8 W·m^-2·K^-4)
Näidisküsimused ja arutelu
Musta keha kiirguse kontseptsiooni selgitamiseks on siin mõned näidisküsimused ja nende arutelud:
Näidisküsimus 1: Lainepikkuse ja võimsuse määramine
Küsimus:
Musta keha temperatuur on 3000 K. Määrake lainepikkus, mille juures esineb maksimaalne kiirgusintensiivsus, ja arvutage ka keha poolt kiiratav võimsus pindalaühiku kohta.
Arutelu:
1. Wieni nihkeseaduse kasutamine
Maksimaalse kiirgusintensiivsuse lainepikkuse määramiseks kasutame Wieni seadust:
\[
θερητι = θερητικης (T)
\]
Siin (b = 2.8977719 × 10^-3 \, m \cdot K\) ja (T = 3000 \, K\):
\[
\lambda_{max} = \frac{2.8977719 × 10^{-3}}{3000} = 9.659 × 10^{-7} \, m = 965.9 \, nm
\]
Seega on maksimaalne lainepikkus umbes 966 nm (nanomeetrit), mis asub infrapunaspektris.
2. Stefan-Boltzmanni seaduse kasutamine
Musta keha poolt eralduva võimsuse arvutamiseks pindalaühiku kohta kasutame Stefan-Boltzmanni seadust:
\[
P = ∫πρ T^4
\]
Kusjuures (\sigma = 5.670374419 korda 10^{-8} \, W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}\) ja (T = 3000 \, K\):
\[
P = 5.670374419 korda 10^{-8} korda (3000)^4 \um 4592 \, W \cdot m^{-2}
\]
Seega on musta keha kiirgav võimsus pindalaühiku kohta temperatuuril 3000 K umbes 4592 W/m².
Näidisküsimus 2: Kiirgusintensiivsuse võrdlus erinevatel temperatuuridel
Küsimus:
Kui musta keha kuumutada temperatuurilt 2500 K temperatuurini 5000 K, siis kuidas võrdub keha poolt kiiratav kogukiirgus nendel kahel temperatuuril?
Arutelu:
Nendel kahel temperatuuril kiiratava kogukiirguse suhte määramiseks kasutame Stefan-Boltzmanni seadust:
\[
P_1 = ∫πρ (2500)^4 ∫πρ (ja} ∫πρ P_2 = ∫πρ (5000)^4
\]
Me ei pea konstanti \(\sigma\) detailselt arvutama, sest saame otse võrrelda suhtelisi võimsusi:
\[
\\frac{P_2}{P_1} = \\frac{\sigma (5000)^4}{\sigma (2500)^4} = \\left( \\frac{5000}{2500} \\right)^4 = 2^4 = 16
\]
Seega on musta keha poolt temperatuuril 5000 K kiiratav kogukiirgus 16 korda suurem kui temperatuuril 2500 K kiiratav kiirgus.
Näidisküsimus 3: Plancki konstandi kasutamine Plancki seaduses
Küsimus:
Arvutage Plancki seaduse abil musta keha kiirgusintensiivsus lainepikkusel 500 nm temperatuuril 6000 K.
Arutelu:
Kasutame Plancki seadust:
\[
I(\lambda, T) = ∫(2hc^2}{\lambda^5} ∫(1e^{\frac{hc}{\lambda kT}} – 1)
\]
Ühendame olemasolevad konstantsed väärtused ja kogused:
\[
h = 6.62607015 × 10^{-34} \, Js, \, c = 3 × 10^8 \, m/s, \, k = 1.380649 × 10^{-23} \, J/K
\]
Kui (lambda = 500, nm = 500 × 10^{-9}, m) ja (T = 6000, K):
\[
I(500 × 10^{-9}, 6000) = \\frac{2 × 6.62607015 × 10^{-34} \\ (3 × 10^8)^2}{(500 × 10^{-9})^5} \\frac{1}{e^{\frac{6.62607015 × 10^{-34} \\ 3 \\ 10^8}{500 × 10^{-9} \\ 1.380649 \\ 10^{-23} \\ 6000}} – 1}
\]
Pärast astmelise astme ja selle jagamise arvutamist saab arvväärtuse saada teadusliku kalkulaatori või matemaatilise tarkvara abil, kuna käsitsi tegemine on üsna keeruline.
Järeldus
Musta keha kiirgus annab sügava ülevaate füüsikamaailmast ja on kvantteooria arengu seisukohalt ülioluline. Musta keha kiirgust reguleerivate seaduste mõistmise ja sellega seotud probleemide lahendamise abil saame paremini aru loodusnähtustest, nagu tähtede, sealhulgas Päikese ja teiste objektide kiiratav elektromagnetiline kiirgus.
