Näidisküsimused ja arutelu integraalide rakendamise üle tasapinna pindala arvutamisel
Matemaatikaõpetuses puututakse integraalidega sageli kokku arvutustes. Üks integraalide tuntumaid rakendusi on kõvera või tasapinna aluse pindala arvutamine. Selles artiklis käsitletakse mitmeid näidisülesandeid ja integraalide rakendamist tasapinna pindala arvutamisel.
Sissejuhatus teooriasse
Enne näidisülesande juurde liikumist vaatame üle integraalide abil kõvera aluse pindala arvutamise põhikontseptsiooni. Kui meil on funktsioon f(x), mis on pidev vahemikus [a, b], siis kõvera y = f(x) alune pindala punktist x = a punktini x = b on:
[L = ∫_{a}^{b} f(x) = dx]
Geomeetriliselt tähendab see, et me summeerime väga õhukese ristküliku pindala x = a-st x = b-ni.
Näidisküsimus 1
küsimus
Arvutage kõvera y = x² alune pindala vahemikus [1, 3].
Arutelu
Pindala arvutamiseks kasutame integraali:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Alustame funktsiooni \(x^2 \) algfunktsiooni leidmisest. Funktsiooni \(x^2 \) algfunktsioon on \( \frac{x^3}{3} \). Siis integraal muutub järgmiselt:
\[L = \vasak[ \frac{x^3}{3} \parem]_{1}^{3} \]
Pea meeles, et algfunktsiooni tuleb arvutada integraali piiridel:
\[L = \vasak( \frac{3^3}{3} \parem) – \vasak( \frac{1^3}{3} \parem) \]
\[L = \vasak( \frac{27}{3} \parem) – \vasak( \frac{1}{3} \parem) \]
\[L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{26}{3} \]
Seega on kõvera y = x² alune pindala punktist x = 1 punktini x = 3:
\[ \frac{26}{3} \, \text{pindalaühik} \]
Näidisküsimus 2
küsimus
Määrake kõvera y = x³ ja sirgete x = 1 ja x = 2 poolt piiratud piirkonna pindala.
Arutelu
Pindala arvutamiseks kasutame integraali:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Nagu ikka, alustame funktsiooni \(x^3 \) algfunktsiooni leidmisest. Funktsiooni \(x^3 \) algfunktsioon on \( \frac{x^4}{4} \). Integraal saab olema:
\[L = \vasak[ \frac{x^4}{4} \parem]_{1}^{2} \]
Arvutage integraali piirid:
\[L = \vasak( \frac{2^4}{4} \parem) – \vasak( \frac{1^4}{4} \parem) \]
\[L = \vasak( \frac{16}{4} \parem) – \vasak( \frac{1}{4} \parem) \]
\[L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{15}{4} \]
Seega on kõvera y = x³ alune pindala punktist x = 1 punktini x = 2:
\[ \frac{15}{4} \, \text{pindalaühik} \]
Näidisküsimus 3
küsimus
Määrake kõverate y = x² + 1 ja y = 2x + 2 poolt piiratud piirkonna pindala vahemikus x = 0 kuni x = 1.
Arutelu
Esmalt peame leidma lõikepunktid, et määrata integreerimise piirid. Lahendus \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Kasutades ruutvõrrandi valemit:
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm\sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Ülemise ja alumise piiri 0 ja 1 vahel puhul ei pea me aga kasutama ruutlahendit, vaid tavalist integraalpiiri 0-st 1-ni. Seejärel arvutage ülemise y-kõvera pindala miinus alumise y-kõvera pindala vastavalt järgmistele piiridele:
\[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funktsiooni lihtsustamine:
\[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Järgmisena leiame algfunktsiooni:
Funktsiooni \( (-x^2) \) algfunktsioon on \( -\frac{x^3}{3} \),
Funktsiooni \( (2x) \) algfunktsioon on \( x^2 \),
Fraktsiooni \( (1) \) algfunktsioon on \( x \).
Nii et
\[L = \vasak. \vasak(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \õige) \õige|_0^1 \]
Järgmine hindamine:
\[L = \vasak[ - \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \parem] – \vasak[ - \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \parem] \]
\[L = \vasak[ - \frac{1}{3} + 1 + 1 \parem] – \vasak[ 0 \parem] \]
\[L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{5}{3} \]
Seega on kõverate y = x² + 1 ja y = 2x + 2 poolt piiratud piirkonna pindala intervallis [0, 1]:
\[ \frac{5}{3} \, \text{pindalaühik} \]
-
Ülaltoodud näidetest näeme, kuidas integraale saab kasutada kõvera aluse või kahe kõvera vahelise pindala arvutamiseks. Integraalide ja antiderivaatide põhimõistete õige mõistmise korral muutub nende pindalade arvutamine väga süstemaatiliseks ja tõhusaks. Loodetavasti on see artikkel suurendanud meie arusaama integraalide rakendamisest reaalses maailmas, eriti tasapindade pindala mõõtmise valdkonnas.
