Näidisküsimused integraalide rakendamise kohta füüsikas
Integraalide kasutamine füüsikas on väga oluline ja lai mõiste. Integraalide rakendamine võimaldab füüsikutel ja inseneridel arvutada mitmesuguseid keerulisi loodusnähtusi, olgu need seotud liikumise, energia, jõu või muude aspektidega. See artikkel uurib mitmeid näidisprobleeme ja arutab integraalide rakendamist füüsikas.
1. Töö arvutamine muutuva jõu abil
küsimus
Jõud, mis muutub sõltuvalt positsioonist x, on antud valemiga F(x) = 3x^2. Arvutage selle jõu tehtud töö, kui objekt liigub punktist x = 0 punkti x = 2 meetri kaugusele.
Arutelu
Muutuva jõu tehtud töö on jõu integraal vahemaa järgi. Kui jõud F(x) positsiooni x funktsioonina on antud, saame töö avaldada järgmiselt:
[W = ∫_{a}^{b} F(x) ∫_{dx}]
Sellisel juhul:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{meeter} \]
\[ b = 2 \, \text{meeter} \]
Siis töö \(W\) on:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Arvutame selle integraali:
\[
W = 3 ∫_{0}^{2} x^2 ∫, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Džaul}
\]
Seega on jõu tehtud töö 8 džauli.
2. Homogeense varda massikeskme arvutamine
küsimus
Homogeenne varras pikkusega \(L\) paikneb x-teljel punktist \(x = 0 \) punkti \(x = L \). Arvutage varda massikeskme asukoht.
Arutelu
Homogeense varda mass on ühtlaselt jaotunud piki varda pikkust. Võime eeldada, et vardal on konstantne lineaarne mass \(\lambda\) (mass pikkuseühiku kohta).
Massi keskpunkt (\(x_{cm}\)) on antud järgmise valemiga:
\[ x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Kuna mass on jaotunud homogeenselt, saame avaldada \(dm = \lambda \, dx\) ja rajaintegraali \(x = 0\)-st \(x = L\)-ni:
\[
x_{cm} = ∫\frac{\int_{0}^{L} x ∫\lambda \, dx}{\int_{0}^L ∫\lambda \, dx}
\]
Integreerimine üle \(\lambda\) on konstantne ja seda saab tagasi võtta:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\vasak[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \vasak[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Seega on varda massikeskme asukoht \( \frac{L}{2} \) ehk varda keskel.
3. Elektrostaatilise jõu arvutamine Coulombi seaduse põhjal
küsimus
Kaks laengut \(q_1\) ja \(q_2\) paiknevad x-teljel vastavalt punktides \(x = 0\) ja \(x = L\). Arvutage kahe laengu vaheline elektrostaatiline jõud.
Arutelu
Coulombi seadus ütleb, et kahe punktlaengu vaheline jõud on otseselt proportsionaalne laengute korrutisega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Kus:
– ∫k_e on Coulombi konstant (8.99 korda 10^9, ∫N m^2 / ∫C^2))
– \(r\) on laengute vaheline kaugus
Sel juhul asuvad q_1 ja q_2 punktides x = 0 ja x = L, siis kaugus r = L.
Elektrostaatiline jõud on:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
See on laialdaselt kasutatav lahendus elektrostaatilise jõu arvutamiseks kahe teatud kaugusel asuva punktlaengu vahel.
4. Magnetvoo arvutamine
küsimus
Ringikujuline traatsilmus raadiusega \(r\) asetatakse ühtlasesse magnetvälja \(B\), mis on risti silmuse tasapinnaga. Arvutage silmuse läbiv magnetvoog.
Arutelu
Magnetvoog (\(\Phi_B\)) läbi magnetvälja \(A\) pinna \(B\) on antud järgmise valemiga:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Kuna magnetväli \(B\) on ühtlane ja risti silmuse tasapinnaga, saab lihtsaks integraaliks:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Kus raadiusega r ringi pindala \(A\) on:
\[A = \pi r^2 \]
Siis on magnetvoog läbi ahela:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Seega on ahela läbiv magnetvoog \(B \pi r^2 \).
Järeldus
Integraalide kasutamine füüsikas on vältimatu, kui peame arvutama keerukate loodusnähtustega seotud teavet. Alates muutuva jõu töö arvutamisest ja objekti massikeskme määramisest kuni elektrostaatiliste jõudude arvutamiseni Coulombi seaduse põhjal kuni magnetväljas oleva juhtmesilmuse magnetvoo arvutamiseni – kõik see tugineb probleemide lahendamisel integraalidele. Põhjalik arusaam sellest, kuidas integraalid erinevates füüsikakontekstides toimivad, mitte ainult ei lihtsusta probleemide lahendamist, vaid annab ka sügavama ülevaate universumi mehaanikast molekulaarsel ja galaktilisel tasandil.
