Näidisküsimused trigonomeetriliste suhtarvude kasutamise kohta
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib kolmnurkade külgede ja nurkade vahelisi seoseid. Trigonomeetria mõistmine on ülioluline, kuna seda kasutatakse sageli erinevates valdkondades, sealhulgas arhitektuuris, inseneriteaduses, astronoomias ja isegi krüptograafias. See artikkel käsitleb mitmeid näidisprobleeme ja käsitleb neid trigonomeetriliste suhete kasutamise kontekstis.
Trigonomeetria põhimõisted
Enne näidisülesannete juurde asumist vaatame üle mõned trigonomeetria põhimõisted. Täisnurkses kolmnurgas on kolm peamist trigonomeetrilist funktsiooni, mida sageli kasutatakse: siinus, koosinus ja tangens.
– Nurga siinus (sinus) on nurga vastaskülje pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe.
\[
\sin \theta = \frac{\tekst{esikülg}}{\tekst{hüpotenuus}}
\]
– Nurga koosinus (cos) on nurgaga külgneva külje pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe.
\[
\cos \theta = \frac{\text{kõrvalolev külg}}{\text{hüpotenuus}}
\]
– Nurga puutuja (tangens) on nurga vastaskülje pikkuse ja nurgaga külgneva külje pikkuse suhe.
\[
\tan \theta = \frac{\tekst{esikülg}}{\tekst{külg}}
\]
Näidisküsimus 1: Torni kõrguse arvutamine
Küsimus: Vaatleja seisab tornist 50 meetri kaugusel ja mõõdab torni tipu tõusunurgaks 30 kraadi. Määrake torni kõrgus.
Lahendus: Selle ülesande lahendamiseks saame kasutada trigonomeetrias puutujafunktsiooni. Kuna me teame kõrgusnurka ja vaatleja kaugust tornist horisontaalselt, saame kirjutada:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{torni kõrgus}}{\text{horisontaalne kaugus}}
\]
Asendage teadaolevad väärtused:
\[
∫tan 30^circ = ∫frac{h}{50}
\]
On teada, et η = η (1}{3}), seega:
\[
1} qrt{3} = h{50}
\]
Seejärel saab torni kõrguse, \(h\), leida, korrutades võrrandi mõlemad pooled 50-ga:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \umbes 28.87 \, \text{meter}
\]
Torni kõrgus on umbes 28.87 meetrit.
Näidisküsimus 2: Kauguse määramine koosinuse abil
Küsimus: Laev liigub 10 km itta, seejärel muudab kurssi 60 kraadi põhja ja purjetab 15 km. Määrake kaugus alguspunktist laevani.
Arutelu: Selle probleemi lahendamiseks saame kasutada trigonomeetrias koosinusreeglit. Kui joonistame laeva teekonna koordinaatsüsteemis, leiame kolmnurga, mille küljed on 10 km ja 15 km ning nurk 60 kraadi. Koosinusreegli abil saame leida laeva alguspunkti ja lõpp-punkti vahelise kauguse.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab ∫cos C
\]
Kus:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \(C = 60^\ring \)
Asendage teadaolevad väärtused:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 cdot 10 cdot 15 cdot cdot cos 60^circ
\]
Me teame, et \(\cos 60^\circ = 0.5\), siis:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = 175 ruutkilomeetrit (umbes 13.23), km
\]
Seega on vahemaa alguspunktist laevani umbes 13.23 km.
Näidisküsimus 3: Kolmnurga külgede määramine siinuse abil
Küsimus: Kolmnurgas on kaks külge pikkusega 7 cm ja 10 cm ning nende vaheline nurk on 45 kraadi. Arvuta kolmnurga kolmanda külje pikkus.
Arutelu: Selle ülesande lahendamiseks saame kasutada siinusseadust. Siinusseaduse kohaselt kolmnurga puhul, mille küljed on \(a\), \(b\) ja \(c\) ning külgede \(a\) ja \(b\) vaheline nurk \(C\):
\[
c) = a) A) = b) B)
\]
Sel juhul saame aga asja lihtsustamiseks otse kasutada koosinusseadust. Koosinusseadus sätestab:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab ∫cos C
\]
Kus:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \(C = 45^\ring \)
(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), nii et:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70 ruutjalga (2)
\]
\[
c^2 = 149 – 70 ruutjalga (2)
\]
\(c \) väärtuse arvutamine:
\[
c \umbes \sqrt{149–70\sqrt{2}} \umbes 5.97 \, \text{cm}
\]
Seega on kolmnurga kolmanda külje pikkus umbes 5.97 cm.
Järeldus
Trigonomeetria on väga kasulik tööriist mitmesuguste kolmnurkade ja nurkadega seotud probleemide lahendamiseks. Siinuse, koosinuse, tangensi ja trigonomeetriaseaduste hea tundmisega saame lahendada palju praktilisi probleeme. See artikkel käsitleb mitmeid trigonomeetriliste suhete kasutamise näiteid, mis loodetavasti aitavad lugejatel oma arusaamist süvendada.
