Näide sündmuse tõenäosust käsitlevast aruteluküsimusest
Tõenäosus on matemaatika haru, mida igapäevaelus laialdaselt rakendatakse. Sündmuse toimumise või mittetoimumise tõenäosust saab mõõta tõenäosuse mõiste abil. Järgnev artikkel käsitleb mitmeid näidisprobleeme ja nende arutelu sündmuse tõenäosuse osas. Vaatleme neid lähemalt.
Küsimus 1: Täringutel numbrite ilmumise tõenäosus
Küsimus:
Kuuekülgset täringut visatakse üks kord. Milline on tõenäosus saada 4?
Arutelu:
Standardsel täringul on kuus külge: 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Igal küljel on võrdne tõenäosus ilmuda. Kuna otsime tõenäosust veeretada kuuest võimalikust arvust 4, saab tõenäosuse kirjutada järgmiselt:
\[ P(4) = \frac{\text{Soovitud viiside arv}}{\text{Võimaluste koguarv}} = \frac{1}{6} \]
Seega on täringu ühekordsel visamisel numbri 4 saamise tõenäosus \(\frac{1}{6}\).
Ülesanne 2: Koefitsiendid loosikastis
Küsimus:
Karbis on 5 punast ja 3 sinist palli. Kui loositakse suvaline pall, siis milline on tõenäosus, et loositud pall on punane?
Arutelu:
Karbis olevate pallide koguarv on:
\[ 5 \text{ (punane) } + 3 \text{ (sinine) } = 8 \text{ palli } \]
Me otsime punaseid palle, mida on 5. Seega on punase palli saamise tõenäosus:
\[ P(\text{red}) = \frac{\text{Punaste pallide arv}}{\text{Pallide koguarv}} = \frac{5}{8} \]
Seega on punase palli valimise tõenäosus \(\frac{5}{8}\).
Küsimus 3: Mündil kullide tõenäosus
Küsimus:
Mündi visatakse kaks korda. Milline on tõenäosus, et viskatakse kaks kulli?
Arutelu:
Igal mündiviskel on kaks võimalikku tulemust, nimelt kull (H) või saba (E). Kui münti viskatakse kaks korda, on võimalike tulemuste valimruum (S):
\[S = \{(HH), (HE), (EH), (EE)\} \]
Kahe pea (HH) saamise tõenäosust saab arvutada järgmiselt:
\[ P(HH) = \frac{\text{HH sündmuste arv}}{\text{Võimaluste koguarv}} = \frac{1}{4} \]
Teisisõnu, kahel korral mündiviskel kahel korral on kahe pea saamise tõenäosus \(\frac{1}{4}\).
Küsimus 4: Tõenäosus kaardimängudes
Küsimus:
Kui tavalisest kaardipakist (52 kaarti) tõmmatakse üks kaart, milline on tõenäosus saada südameäss?
Arutelu:
Tavaline kaardipakk sisaldab 52 kaarti, sealhulgas 4 ässa. Meid huvitab aga ainult südameäss.
Võimalike kaartide koguarv on 52 ja pakis on ainult üks südameäss. Seega:
\[ P(\text{Südameäss}) = \frac{\text{Südameässide arv}}{\text{Kaartide koguarv}} = \frac{1}{52} \]
Seega on tavalisest kaardipakist südameässa tõmbamise tõenäosus \(\frac{1}{52}\).
Küsimus 5: Kauba loosimise koefitsiendid
Küsimus:
Lotopileteid on 10, millest 3 on auhinnaga ja 7 ilma. Kui loositakse juhuslikult üks pilet, milline on võidu saamise tõenäosus?
Arutelu:
Piletite koguarv on 10 ja auhinnapiletite arv on 3. Seega on auhinnapileti saamise tõenäosus:
\[ P(\text{prize}) = \frac{\text{Auhinnapiletite arv}}{\text{Piletite koguarv}} = \frac{3}{10} \]
Seega on auhinnapileti saamise tõenäosus \(\frac{3}{10}\).
Küsimus 6: Tõenäosus kommikarbis
Küsimus:
Purgis on 12 šokolaadikommi, 8 maasikakommi ja 5 piparmündikommi. Kui üks komm valitakse juhuslikult, milline on tõenäosus saada piparmündikomm?
Arutelu:
Purgis olevate kommide koguarv on:
\[ 12 \text{ (šokolaad) } + 8 \text{ (maasikas) } + 5 \text{ (piparmünt) } = 25 \text{ kommid } \]
Soovitud piparmündikommide arv on 5. Seega piparmündikommi saamise tõenäosus on:
\[ P(\text{mint}) = \frac{\text{Müntide arv}}{\text{Müntide koguarv}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]
Seega on mündikommi saamise tõenäosus \(\frac{1}{5}\).
Küsimus 7: Lotovõiduvõimalused
Küsimus:
Lotomängus pannakse karpi 10 palli numbritega 1 kuni 10. Kui loositakse üks pall, milline on tõenäosus saada paarisarv?
Arutelu:
Pallide koguarv on 10 ja nende hulgas on paarisarvud 2, 4, 6, 8 ja 10, mis teeb kokku 5 palli.
Seega paarisarvu saamise tõenäosus on:
\[ P(\text{paarisarvude arv}) = \frac{\text{Paarisarvude arv}}{\text{Pallide koguarv}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Seega paarisarvu saamise tõenäosus on \(\frac{1}{2}\).
Küsimus 8: Matši võiduvõimalused
Küsimus:
Korvpallimängus on mängijal iga viskega 0,7 tõenäosust punkti saada. Kui mängija sooritab ühe viske, milline on tõenäosus, et ta lööb mööda?
Arutelu:
Punkti eduka teenimise tõenäosus on 0,7. Seega on punkti mitte teenimise tõenäosus:
\[ P(\text{failed}) = 1 – P(\text{succeeded}) = 1 – 0,7 = 0,3 \]
Seega on mängijal ühest viskest punkti teenimata jätmise tõenäosus 0,3 ehk 30%.
Pärast ülaltoodud näidete ja arutelude uurimist saame aru, kuidas tõenäosuse mõistet rakendatakse erinevates kontekstides ja olukordades. See arusaam aitab lahendada igapäevaseid ebakindluse ja hindamisega seotud probleeme ning loob kindla aluse edasisteks rakendusteks statistika ja tõenäosuse uurimisel.
