Näidisküsimused keskmise (keskmise või keskmise) kohta
Statistikas on keskmine üks enimkasutatavaid keskse tendentsi mõõdikuid. Keskmine annab üldise ülevaate meie käsutuses olevatest andmetest, olgu siis hariduses, majanduses või sotsiaalteadustes. See artikkel esitab mitu näidisülesannet, mis on seotud keskmise arvutamisega, ja iga ülesande üksikasjaliku arutelu, et aidata teil seda kontseptsiooni paremini mõista.
Keskmise (keskmise) mõistmine
Aritmeetiline keskmine ehk keskmine on väärtus, mis saadakse kõigi andmete liitmisel ja seejärel andmepunktide arvuga jagamisel. Matemaatiliselt saab keskmise valemi kirjutada järgmiselt:
\[ \text{Keskmine} = \frac{\summa x}{n} \]
Kus:
– \( \sum x \) on kõigi andmete kogusumma.
– \(n \) on andmete arv.
Näidisküsimused ja arutelu
Näidisküsimus 1
Küsimus:
Arvutage järgmiste andmete keskmine: 8, 10, 12, 14, 16.
Arutelu:
1. Liida kõik andmed kokku:
\[8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60 \]
2. Loendage andmete arv:
\[n = 5 \]
3. Kasutage keskmise valemit:
\[ \text{Keskmine} = \frac{60}{5} = 12 \]
Seega on andmete keskmine 12.
Näidisküsimus 2
Küsimus:
Antud on viie isendi kaaluandmed (kg): 55, 60, 65, 70, 75. Arvuta keskmine kaal.
Arutelu:
1. Liida kokku iga inimese kaal:
\[55 + 60 + 65 + 70 + 75 = 325 \]
2. Loendage andmete arv:
\[n = 5 \]
3. Kasutage keskmise valemit:
\[ \text{Keskmine} = \frac{325}{5} = 65 \]
Seega on viie isendi keskmine kaal 65 kg.
Näidisküsimus 3
Küsimus:
Klassis on 6 õpilase matemaatikatesti tulemused 70, 75, 65, 80, 90 ja 85. Mis on matemaatikatesti tulemuste keskmine?
Arutelu:
1. Liida kokku iga õpilase testi tulemused:
\[70 + 75 + 65 + 80 + 90 + 85 = 465 \]
2. Loendage andmete arv:
\[n = 6 \]
3. Kasutage keskmise valemit:
\[ \text{Keskmine} = \frac{465}{6} = 77.5 \]
Seega on klassi keskmine matemaatikatesti tulemus 77.5.
Keskmise kasutamine andmeanalüüsis
Keskmise arvutamine on andmeanalüüsi esimene samm, kuid keskmise tõlgendamine nõuab laiemat konteksti. Näiteks eelmistes näidetes arvutasime testi tulemuste, kaalu ja muude lihtsate andmete keskmise. Need keskmised annavad üldise ettekujutuse, kuid keskmise kasutamisel keskse kalduvuse mõõduna on mitmeid olulisi asju, mida meeles pidada:
1. Tundlikkus kõrvalekallete suhtes:
Keskmised on väga tundlikud kõrvalekallete või äärmuslike andmete suhtes. Näiteks testi tulemuste komplektis sai üks õpilane 0 punkti, samas kui teised said üle 60. See 0 langetaks keskmist oluliselt, mistõttu on vähem tõenäoline, et see peegeldab enamiku õpilaste tegelikke saavutusi.
2. Üldine kokkuvõte:
Keskmine annab ühe väärtuse, mis esindab andmeid, kuid see ei anna teavet andmete jaotuse kohta. Kahel erineval andmestikul võib olla sama keskmine, kuid väga erinevad andmejaotused.
Näidisküsimus 4 (kõrvalväärtustega)
Küsimus:
Kuue õpilase lõpueksami tulemused on järgmised: 78, 85, 82, 90, 88 ja 30. Arvuta lõpueksamite tulemuste keskmine.
Arutelu:
1. Iga õpilase eksamitulemuste kogusumma:
\[78 + 85 + 82 + 90 + 88 + 30 = 453 \]
2. Loendage andmete arv:
\[n = 6 \]
3. Kasutage keskmise valemit:
\[ \text{Keskmine} = \frac{453}{6} = 75.5 \]
Väärtus 30 on väga madal ja mõjutab keskmist, tehes sellest 75.5. Kui aga kõrvalekaldeid ignoreerida, saame:
\[ \text{Keskmine ilma 30ta} = \frac{78 + 85 + 82 + 90 + 88}{5} = \frac{423}{5} = 84.6 \]
Keskmine ilma kõrvalekalleteta on palju kõrgem, mis näitab äärmuslike andmete mõju olulisust.
Sageli kasutatavate andmete rühma keskmise arvutamine
Sageli esitatakse andmed sagedustabeli kujul. Sellistel juhtudel peame sagedust kordajana kasutama.
Näidisküsimus 5
Küsimus:
Arvestades õpilaste rühma pikkusandmeid:
– 150 cm, õpilasi on 5
– 155 cm, õpilasi on 8
– 160 cm, õpilasi on 7
– 165 cm, õpilasi on 10
Arvuta õpilaste keskmine pikkus.
Arutelu:
1. Korrutage iga kõrgus selle sagedusega:
\[(150 korda 5) + (155 korda 8) + (160 korda 7) + (165 korda 10) = 750 + 1240 + 1120 + 1650 = 4760 \]
2. Sageduste koguarv (üliõpilaste arv):
\[5 + 8 + 7 + 10 = 30 \]
3. Kasutage keskmise valemit:
\[ \text{Keskmine} = \frac{4760}{30} \umbes 158.67 \]
Seega on õpilaste keskmine pikkus umbes 158.67 cm.
Keskmise ja mediaani võrdlus
Mõnikord ei ole keskmine andmete keskpunkti parim mõõt, eriti kui esineb kõrvalekaldeid. Sellistel juhtudel võib mediaan olla parem valik. Mediaan on andmestiku keskmine väärtus pärast andmete sorteerimist.
Näidisküsimus 6
Küsimus:
Arvutage järgmiste andmete keskmine ja mediaan: 3, 5, 7, 8, 100.
Arutelu:
– Arvutage keskmine:
\[ \text{Keskmine} = \frac{3 + 5 + 7 + 8 + 100}{5} = \frac{123}{5} = 24.6 \]
– Mediaani määramiseks sorteerige andmed:
\[3, 5, 7, 8, 100 \]
Mediaan on keskmises positsioonis olev arv, mis on 7.
Siin peegeldab mediaan (7) enamikku andmetest paremini kui keskmine (24.6), mida mõjutab hälve (100).
Järeldus
Keskmise arvutamine on statistikas põhimõiste, mis aitab andmestikust üldiselt aru saada. Siiski on oluline anda andmetele konteksti ja kaaluda olukorrast olenevalt ka muude statistiliste mõõdikute, näiteks mediaani ja mooduse kasutamist. Samuti on oluline keskmise tõlgendamisel alati arvestada erandite mõjuga. Loodetavasti on ülaltoodud näited ja arutelu andnud selgema ja rakendatavama arusaama sellest, kuidas keskmist arvutada ja kasutada.
