Näidisküsimused rühmitatud andmete kvartiilide kohta
Pendahuluan
Statistikas on kvartiilid keskse tendentsi mõõt, mis jagab andmed neljaks võrdseks osaks. Kvartiilid koosnevad esimesest kvartiilist (Q1), teisest kvartiilist (Q2) ja kolmandast kvartiilist (Q3). Paljudel juhtudel saab analüüsitavaid andmeid rühmitada. See artikkel käsitleb näiteid ja arutelu rühmitatud andmete kvartiilide üle.
Kvartiilide mõistmine grupiandmetes
Kvartiilid on väärtused, mis jagavad korrastatud andmed neljaks võrdseks osaks. Esimest kvartiili (Q1) nimetatakse 25. protsentiiliks, teist kvartiili (Q2) nimetatakse ka mediaaniks või 50. protsentiiliks ja kolmandat kvartiili (Q3) nimetatakse 75. protsentiiliks.
Rühmitatud andmete puhul on kvartiilide arvutamine veidi keerulisem kui üksikandmete puhul. Rühmitatud andmed esitatakse tavaliselt sagedusjaotuse tabelina, seega peame kvartiilide leidmiseks kasutama kindlat valemit.
Kvartiilvalem rühmitatud andmete jaoks
Rühmitatud andmete kvartiilide leidmiseks kasutame järgmist valemit:
– Esimene kvartiil (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + ∫(\frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}}) × c
\]
– Teine kvartiil (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + ∫(\frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}}) × c
\]
– Kolmas kvartiil (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + ∫(\frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}}) × c
\]
Kus:
– \(L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = klasside Q1, Q2, Q3 alumine piir
– \(N \) = andmete arv
– \(F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = kumulatiivne sagedus enne klasse Q1, Q2, Q3
– \(f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = klassi sagedused Q1, Q2, Q3
– \(c \) = klassi pikkus
Probleemide näide
Järgnev on näide grupiandmete ülesandest, mida kasutatakse kvartiilide arvutamiseks:
| Väärtus | Sagedus |
|————|———–|
| 10–19 | 5 |
| 20–29 | 8 |
| 30–39 | 12 |
| 40–49 | 15 |
| 50–59 | 6 |
| 60–69 | 4 |
1. samm: määrake kumulatiivne sagedus
Esiteks peame määrama iga klassi kumulatiivse sageduse:
| Väärtus | Sagedus | Kumulatiivne sagedus |
|————|—————–|—————————|
| 10–19 | 5 | 5 |
| 20–29 | 8 | 13 |
| 30–39 | 12 | 25 |
| 40–49 | 15 | 40 |
| 50–59 | 6 | 46 |
| 60–69 | 4 | 50 |
Andmete arv (N) = 50
2. samm: esimese kvartiili (Q1) määramine
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
Otsime klassi, kus kumulatiivne sagedus ületab esimesena 12.5, nimelt klassid 20–29.
– L (klassi Q1 alumine piir) = 20
– F (kumulatiivne sagedus enne klassi Q1) = 5
– f (klassi Q1 sagedus) = 8
– c (klassi pikkus) = 10
Valemi Q1 abil:
\[
Q1 = 20 + ∫(∫(12.5 – 5)/(8) × 10 = 20 + ∫(7.5)/(8) × 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
3. samm: teise kvartiili (Q2) määramine
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Otsime klassi, kus kumulatiivne sagedus ületab esimesena 25, nimelt klassid 30–39.
– L = 30
– F = 13
– f = 12
– c = 10
Valemi Q2 abil:
\[
Q2 = 30 + ∫(∫(25 – 13)/(12) × 10 = 30 + ∫(12)/(12) × 10 = 30 + 10 = 40
\]
4. samm: määrake kolmas kvartiil (Q3)
– (3N4 = 3 korda 504 = 37.5)
Otsime klassi, kus kumulatiivne sagedus ületab esimesena 37.5, nimelt klassid 40–49.
– L = 40
– F = 25
– f = 15
– c = 10
Valemi Q3 abil:
\[
Q3 = 40 + ∫(∫37.5 – 25,15) × 10 = 40 + ∫(∫12.5) × 10 = 40 + 8.333 = umbes 48.333
\]
Järeldus
Ülaltoodud arvutuste põhjal saame grupiandmete kvartiiliväärtused järgmiselt:
– Esimene kvartiil (Q1) = 29.375
– Teine kvartiil (Q2) = 40
– Kolmas kvartiil (Q3) = 48.333
Need väärtused võimaldavad meil mõista, kuidas andmed rühmas jaotuvad. Näiteks 25% andmetest jääb alla 29 375 (Q1), 50% andmetest jääb alla 40 (mediaan ehk Q2) ja 75% andmetest jääb alla 48 333 (Q3).
Kvartiilarvutused on kasulikud mitmesugustes olukordades, et saada sügavam arusaam andmete jaotusest. Selle meetodi mõistmine võimaldab meil rühmitatud andmeid täpsemalt ja tõhusamalt analüüsida.
