Näidisküsimused teisenduste kompositsiooni kohta maatriksite abil
Geomeetrilised teisendused on matemaatikas, eriti geomeetrias ja lineaaralgebras, oluline teema. Need teisendused võivad hõlmata nihkeid, pööreid, peegeldusi ja dilatatsioone. Selles artiklis uurime, kuidas saab erinevate teisenduste koostist esitada ja lahendada maatriksite abil. Samuti pakume näidisülesandeid ja lahendusi.
1. Sissejuhatus teisendusse maatriksite abil
Geomeetrilisi teisendusi saab esitada maatriksite abil. Näiteks pöörlemise, translatsiooni, peegelduse ja dilatatsiooni teisendused saab maatriksi kujul formuleerida järgmiselt:
1. Tõlge
\[
T(x, y) = ∫pmatrix x + a ∫y + b ∫pmatrix
\]
2. Pöörlemine
\[
R(\heta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. Peegeldus X-telje ümber
\[
\text{Peegeldus X} = \begin{pmatrix} 1 ja 0 \\ 0 ja -1 \end{pmatrix}
\]
4. Dilatatsioon (suurendamine/skaleerimine)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Teisenduste kompositsioon maatriksite abil
Teisenduste kompositsioon on kahe või enama teisenduse järjestikune rakendamine objektile. Teisenduste kompositsiooni arvutamiseks maatriksite abil korrutame teisendusi esindavad maatriksid lihtsalt omavahel.
Näidisküsimused ja arutelu
küsimus
Antud punkti P(2, 3) korral leidke järgmise teisenduse tulemus:
1. Pöörlemine \(90^\ring\) päripäeva (CW)
2. Dilatatsioon skaalateguriga 2
3. Valemi (1, -2) teisendus
Arutelu
1. Pöörlemine \(90^\ring\) päripäeva
Päripäeva pöörlemise maatriks 90° raadiuses:
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Pöördeteisenduse rakendamine punktis P:
\[
\begin{pmatrix} 0 ja 1 \\ -1 ja 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Punkt P pärast pöördteisendust on P'(3, -2).
2. Dilatatsioon skaalateguriga 2
Dilatatsiooni maatriks mastaabiteguriga 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 ja 0 \\ 0 ja 2 \end{pmatrix}
\]
Rakendades punktis P'(3, -2) dilatatsiooniteisendust:
\[
\begin{pmatrix} 2 ja 0 \\ 0 ja 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Pärast dilatatsiooniteisendust on punkt P' P”(6, -4).
3. Valemi (1, -2) teisendus
Järgnevalt on toodud tõlkeoperatsioonid:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Ülekande teisenduse rakendamine punktis P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \begin{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Seega on lõpp-punkt pärast kõigi teisenduste rakendamist P(7, -6).
3. Transformatsioonikompositsiooni arvutamine
Lisaküsimused
Antud punkt Q(1, 2) ja järgmine teisendus:
1. Peegeldus X-telje ümber.
2. Pöörlemine \(180^\ring\) päripäeva (CW).
Arutelu
1. Peegeldus X-telje ümber
Peegeldusmaatriks X-telje ümber:
\[
\begin{pmatrix} 1 ja 0 \\ 0 ja -1 \end{pmatrix}
\]
Peegeldusteisenduse rakendamine punktis Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 ja 0 \\ 0 ja -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Peegeldusteisenduse järgne punkt Q on Q'(1, -2).
2. Pöörlemine \(180^\ring\) päripäeva
Päripäeva pööramise maatriks \(180^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Pöörateisenduse rakendamine punktile Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \\ end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Seega on lõpp-punkt pärast kõigi teisenduste rakendamist Q(-1, 2).
Sulgemine
Maatriksite abil teisenduste kompositsioonimeetod on väga kasulik geomeetriliste teisenduste lihtsustamiseks ja süstemaatiliseks arvutamiseks. Järgides ülaltoodud samme, saame hõlpsalt aru ja rakendada erinevat tüüpi teisendusi üksikule punktile või muule geomeetrilisele objektile. Maatriksite kasutamise õppimine teisendustes lihtsustab ka nende rakendamist erinevates valdkondades, näiteks füüsikas, arvutigraafikas ja mujal.
