Näide aruteluküsimusest määramiskordaja kohta
Määramiskordaja (R²) on regressioonanalüüsi oluline parameeter, mis näitab, kui hästi regressioonimudel selgitab andmete tegelikku varieeruvust. Selles artiklis selgitame määramiskordaja mõistet üksikasjaliku näite ja arutelu abil.
Määramiskordaja põhikontseptsioon
Määramiskordajat ehk \(R^2 \) mõõdetakse skaalal 0 kuni 1, kus:
– \( R^2 = 0 \) näitab, et regressioonimudel ei suuda andmete varieeruvust üldse selgitada.
– \( R^2 = 1 \) näitab, et regressioonimudel suudab andmete kogu varieeruvust ideaalselt selgitada.
Määramiskordaja arvutamise põhivalem on:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Kus:
– SSR (Sum of Squared Residuals ehk ruutude jääkide summa) on mudeli ennustatud väärtuste ja tegelike väärtuste erinevuste ruutude summa.
– SST (ruutude kogusumma) on tegeliku väärtuse ja tegelike väärtuste keskmise erinevuste ruutude summa.
Probleemide näide
Determinatsioonikordaja arvutamise põhjalikumaks mõistmiseks käsitleme näidisülesannet.
Probleemide näide:
Oletame, et meil on andmed 10 õpilase õppetundide arvu (X) ja eksamitulemuste (Y) kohta:
| Tudengid | Õppetunnid (X) | Eksamitulemus (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Loome lihtsa lineaarse regressioonimudeli, kus eksamitulemused (Y) ennustatakse õppetundide (X) põhjal.
Arutelu
1. Lihtsa lineaarse regressioonimudeli loomine
Lihtsa lineaarse regressioonimudeli kuju on järgmine:
[Y = a + bX]
Kus:
– \(Y \) on ennustatud testi tulemus.
– \(X \) on õppetundide arv.
– \(a \) on lõikepunkt (Y-telje lõikepunkt, kui X = 0).
– \(b \) on tõus (regressioonisirge kalle).
Parameetrite \(a \) ja \(b \) arvutamiseks kasutame järgmist valemit:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Kus \(n \) on andmete arv (antud juhul n = 10).
Tabelist saame arvutada:
– \(\summa{X} = 36\)
– \(\summa{Y} = 704\)
– \(\summa{X^2} = 140\)
– \(\summa{Y^2} = 50428\)
– \(\summa{XY} = 2576\)
Arvutame kõigepealt b:
\[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[b = \frac{25760–25344}{1400–1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Seejärel arvutame välja a:
\[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Seega saame lineaarse regressioonimudeli:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Arvutage ennustatud väärtus (Y')
Seejärel arvutame iga X jaoks ennustatud väärtuse Y':
| Tudengid | Õppetunnid (X) | Eksami tulemus (Y) | Prognoositav tulemus (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. SSR-i ja SST-i arvutamine
Järgmisena arvutame SSR-i ja SST-i, et saada \(R^2 \).
SSR:
\[SSR = \summa{(Y – Y')^2} \]
\[SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \summa{(Y – \bar{Y})^2} \]
Kus:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Määramiskordaja (R^2) arvutamine:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Järeldus
Ülaltoodud arvutuse põhjal saime determinatsioonikordaja (R2 = 0.59). See näitab, et meie loodud lineaarse regressiooni mudel suudab selgitada ligikaudu 59% eksamitulemuste varieeruvusest õppetundide põhjal. Ülejäänud 41% varieeruvusest võib olla tingitud muudest teguritest, mida mudelis ei ole arvesse võetud.
Ülaltoodud sammude ja arvutuste mõistmise abil näeme määramiskordaja olulisust selle hindamisel, kui hästi meie loodud regressioonimudel selgitab andmete tegelikku varieeruvust. See on väga kasulik tööriist statistilises analüüsis ja andmete modelleerimisel.
