Näidisküsimused trigonomeetriliste suhtarvude tan θ kasutamise kohta
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis tegeleb kolmnurkade nurkade ja nurkfunktsioonidega. Üks oluline mõiste trigonomeetrias on nurkade trigonomeetrilised suhted, näiteks siinus (sin), koosinus (cos) ja tangens (tan). Selles artiklis keskendume üksiku nurga θ puutujale, mida tähistatakse kui tan θ.
Tan θ definitsioon
Nurga θ puutuja täisnurkses kolmnurgas on nurga θ vastaskülje ja nurga θ kõrvalkülje pikkuse suhe. Matemaatiliselt väljendatakse tan θ järgmiselt:
\[ \tan \theta = \frac{\text{nurga θ vastaskülg}}{\text{nurga θ külgkülg}} \]
Selle kontseptsiooni paremaks mõistmiseks vaatame läbi mõned näidisülesanded ja arutame tan θ kasutusvõimalusi.
Näidisküsimus 1: Tan θ arvutamine
Antud on täisnurkne kolmnurk, mille nurk on θ punktis A, kus nurga θ vastaskülje pikkus on 3 cm ja nurga θ lähikülje pikkus on 4 cm. Arvuta tan θ.
Lahendus:
Ülaltoodud probleemidest teame:
– Nurga θ vastaskülg (vastupidine) = 3 cm
– Nurga θ külgnev külg = 4 cm
Kasutades tan θ definitsiooni, arvutame:
\[ \tan \theta = \frac{\text{vastas}}{\text{külgnev}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
Seega, tan θ = 0.75.
Geomeetriliselt tähendab see, et kolmnurga nurga θ korral on vastaskülje ja külgneva külje pikkuse suhe 0.75.
Näide 2: Küljepikkuse arvutamine funktsiooni Tan θ abil
Redel toetub vastu seina 30-kraadise nurga θ all. Redeli jalami ja seina vaheline kaugus on 5 meetrit. Kui pikk on redel, mis vastu seina toetub?
Lahendus:
Esimese sammuna tuletame meelde tan θ definitsiooni:
\[ \tan \theta = \frac{\text{vastas}}{\text{külgnev}} \]
Selle probleemi kontekstis:
– θ = 30 kraadi
– külgnev (kaugus redeli jalast seinani) = 5 meetrit
– vastaskülg (redeli kõrgus seinast) = ???
Esmalt arvutame \text{opposite)):
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Trigonomeetrilisest tabelist teame, et:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Seega:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Korrutage mõlemad pooled 5-ga:
\[ \text{opposite} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Vastas (redeli kõrgus seinast) on:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \umbes 2.89 \text{ meetrit} \]
Seega on redeli pikkus 5 meetrit.
Näide 3: Nurkade arvutamine Tan θ abil
Torn heidab 12 meetri pikkuse varju. Kui torn on 8 meetrit kõrge, siis milline on päikese tõusunurk θ?
Lahendus:
Selles ülesandes on meile antud:
– Torni kõrgus (vastasküljel) = 8 meetrit
– Varju pikkus (külgneva) = 12 meetrit
Kasutame tan θ definitsiooni, et leida θ:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
Nüüd leiame θ võrrandiga:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
Pöördtangeni väärtuse määramiseks tabeli või kalkulaatori abil leiame:
\[ \teeta \umbes 33.69^\circ \]
Seega on päikese tõusunurk umbes 33.69 kraadi.
Näide 4: Tan θ rakendamine reaalsetele vajadustele
Auto kohale 4-meetrise posti külge on paigaldatud helkur. Kui soovite paigaldada sireeni, mida on maapinnast näha 45-kraadise nurga all, arvutage välja suurim kaugus, mille juures sireeni veel näha on.
Lahendus:
Küsimusest on teada:
– Posti kõrgus (vastasküljel) = 4 meetrit
– Nurk θ = 45 kraadi
Tan θ definitsiooni kohaselt:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{vastas}}{\text{külgnev}} \]
Me teame, et \(\tan 45^\circ = 1\), seega:
\[1 = \frac{4}{\tekst{külgnev}} \]
Seega:
\[ \text{adjacent} = 4 \text{ meetrit} \]
Seega on sireeni kõige kaugem nähtav kaugus 4 meetrit.
Järeldus
Ülaltoodud näidetest näeme, et nurga θ puutuja (\(\tan \theta\)) on väga kasulik mõiste ja sellel on lai valik praktilisi rakendusi, alates lihtsate matemaatiliste probleemide lahendamisest kuni igapäevaste vajaduste rahuldamiseni, näiteks ehituses ja navigatsioonis. Selle mõiste hea mõistmine aitab lahendada mitmesuguseid probleeme, mis hõlmavad kolmnurga külgede pikkuste võrdlemist.
Üldiselt pole tan θ trigonomeetria osana oluline õppeaine mitte ainult formaalses hariduses, vaid ka väga kasulik tööriist reaalse elu erinevates aspektides. Loodetavasti annab see artikkel selge ja põhjaliku ülevaate sellest, kuidas tan θ-d kasutada seotud probleemide lahendamiseks.
