Näidisküsimused ja arutelu ringi sektorite kohta
Ringi sektorid on matemaatikas oluline teema, mis esineb sageli eksamitel ja harjutusküsimustes. Sektor on ringi osa, mis on piiratud kahe raadiusega ja neid ühendava kaarega. Selles artiklis arutame mitmeid ringi sektorite näidisülesandeid koos üksikasjalike selgitustega, et süvendada meie arusaamist.
Ringisektori määratlus
Ringi sektor on ringi sektor, mis on piiratud kahe raadiuse ja ühe kaarega. Sektori pindala arvutatakse ringi kogupindala murdosa põhjal. Sektori arvutamise peamine valem on järgmine:
– Juringi pindala: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
– Kaare pikkus: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Kus:
– \( \theta \) on sektori nurga suurus kraadides,
– \(r \) on ringi raadius,
– \( \pi \) on konstant (ligikaudu 3.14159).
Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1:
Antud on ring raadiusega 10 cm ja sektor kesknurgaga 90°. Arvuta sektori pindala.
Arutelu:
On teada:
– \(r = 10 \) cm
– \( \teeta = 90^circ \)
Sektori pindala arvutamiseks kasutame valemit:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} × \pi × 100 \text{cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\tekst{ cm}^2\]
Kui \(\pi \) on 3.14, siis:
\[L_juring = 25 × 3.14 cm² = 78.5 cm²]
Seega on sektori pindala 38 465 cm².
Küsimus 2:
Ringi sektori raadius on 7 cm ja kaare pikkus 11 cm. Määrake sektori kesknurk radiaanides.
Arutelu:
On teada:
– \(r = 7 \) cm
– Kaare pikkus \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Nurga ( \theta \) leidmiseks kasutame kaare pikkuse valemit:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \korda 2\pi r\]
Kuna meil palutakse leida nurk radiaanides, asendame 360° \(2\pi\) radiaaniga:
\[P_b = \teeta \korda r\]
\[11 = \teeta \korda 7\]
\[\teeta = \frac{11}{7}\]
\[\teeta \umbes 1.57 \text{ rad}\]
Seega on sektori kesknurk 1.57 radiaani.
Küsimus 3:
16 cm raadiusega ringi sektor on pindalaga 200 cm². Arvuta sektori kesknurk.
Arutelu:
On teada:
– \(r = 16 \) cm
– \(L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Sektori pindala valemi abil leiame \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \x \pi \x (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \x \pi \x 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \x 360^\circ = \theta \x 256 \x 3.14\]
\[72000 = \teeta \korda 256 \korda 3.14\]
\[72000 = \teeta \korda 804.64\]
\[\teeta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\teeta \um 89.45^\circ\]
Seega on sektori kesknurk ligikaudu 89.45°.
Küsimus 4:
Arvuta sektori koguümbermõõt, mille raadius on 12 cm ja kesknurk 120°.
Arutelu:
On teada:
– \(r = 12 \) cm
– \( \teeta = 120^circ \)
Esmalt leiame kaare pikkuse:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \korda 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \x 2\pi \x 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \x 2\pi \x 12\]
\[P_b = 8\pi\tekst{cm}\]
Seejärel arvutame sektori ümbermõõdu (kaare pikkus + kaks raadiust):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 × 12 cm + 8 pi cm]
\[K = 24\cm} + 8\pi\cm}\]
Kui \(\pi \) on 3.14, siis:
\[K = 24 cm + 8 korda 3.14 cm]
\[K = 24\cm} + 25.12\cm}\]
\[K = 49.12\tekst{ cm}\]
Seega on sektori koguümbermõõt 49.12 cm.
Küsimus 5:
Kui 18 cm raadiusega ringi sektor moodustab 45° nurga, siis määrake kaare pikkus ja sektori pindala.
Arutelu:
On teada:
– \(r = 18 \) cm
– \( \teeta = 45^circ \)
1. Kaare pikkus:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \korda 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\tekst{cm}\]
Kui \(\pi \) on 3.14, siis:
\[P_b = 4.5 × 3.14 cm} umbes 14.13 cm]
Seega on vibu pikkus umbes 14.13 cm.
2. Sektori valdkond:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} × \pi × 324 \text{cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\tekst{ cm}^2\]
Kui \(\pi \) on 3.14, siis:
\[L_juring = 40.5 × 3.14 \cm}^2 \umbes 127.17 \cm}^2\]
Seega on sektori pindala ligikaudu 127.17 cm².
Järeldus
Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid ringi sektorite ja nende lahendustega seotud näidisülesandeid. Ringi sektorite mõistmise põhiolemus seisneb sektori pindala ja kaare pikkuse arvutamise põhivalemite valdamises. Regulaarne harjutamine ja nende valemite rakendamise mõistmine erinevat tüüpi ülesannete puhul aitab loodetavasti parandada teie võimet sarnaseid ülesandeid lahendada.
