Näidisküsimused ja binoomjaotuse arutelu
Binoomjaotus on üks enimkasutatavaid diskreetseid tõenäosusjaotusi. See on väga kasulik mitmete identsete, sõltumatute katsete õnnestumiste arvu modelleerimiseks, millest igaüks annab kas õnnestumise või ebaõnnestumise. Selles artiklis süveneme binoomjaotusse, pakkudes mitmeid näiteid ja üksikasjalikku arutelu.
Sissejuhatus binoomjaotusse
Binoomjaotuse peamised omadused:
1. n : Katsete või korduste arv.
2. p : Iga katse õnnestumise tõenäosus.
3. q = 1-p: Iga katse ebaõnnestumise tõenäosus.
Binoomjaotuse tõenäosusmassi funktsioon on:
\[ P(X = k) = {n \vali k} p^k (1-p)^{nk} \]
Kus:
– \({n \vali k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): Juhuslik muutuja, mis esindab õnnestumiste arvu.
– \(k \): Otsitud õnnestumiste arv.
Näidisküsimused ja arutelu
Alustame mõne näidisülesandega, et binoomjaotuse mõistet üksikasjalikumalt mõista.
Näide 1: Õpilasrühma hulgast valimine
Näiteks oletame, et meil on 10 õpilasest koosnev rühm ja tõenäosus, et iga õpilane valitakse võistlusele osalema, on 0,3. Me tahame teada tõenäosust, et valitakse täpselt 4 õpilast.
1. samm: Määrake binoomjaotuse parameetrid.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
2. samm: Kasutage binoomjaotust, et arvutada tõenäosus \(X = 4 \).
\[P(X = 4) = {10 \vali 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Arvutamine \( {10 \vali 4} \):
\[ {10 \vali 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Nüüd arvutage \( (0.3)^4 \) ja \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Niisiis,
\[P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \um 0.20012 \]
Seega on täpselt 4 õpilase valimise tõenäosus ligikaudu 0.20012 ehk 20.012%.
Näide 2: Tõenäosus on väiksem või võrdne 2-ga
Näiteks nüüd küsitakse meilt tõenäosuse kohta, et valitakse vähem kui 2 õpilast või nendega võrdne arv.
1. samm: Me peame arvutama \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) ja \(P(X = 2) \).
– P(X = 0) puhul:
\[P(X = 0) = {10 \vali 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \vali 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– P(X = 1) puhul:
\[P(X = 1) = {10 \vali 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \vali 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– P(X = 2) puhul:
\[P(X = 2) = {10 \vali 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \vali 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
2. samm: Liida tõenäosused kokku.
\[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Seega on tõenäosus, et valitakse vähem kui 2 õpilast või nendega võrdne, ligikaudu 0.7740671 ehk 77.41%.
Näide 3: Tõenäosus vähemalt 8
Kui katset tehakse 12 korda ja iga katse õnnestumise tõenäosus on 0.5, siis milline on tõenäosus, et õnnestub vähemalt 8 katset?
1. samm: Määrake binoomparameetrid: \(n = 12, p = 0.5 \).
2. samm: Leidke tõenäosus \(X \geq 8 \) jaoks.
See nõuab mitme individuaalse tõenäosuse arvutamist ja liitmist:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Loenda ükshaaval:
– P(X = 8) puhul:
\[P(X = 8) = {12 \vali 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \vali 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– P(X = 9) puhul:
\[P(X = 9) = {12 \vali 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \vali 9} = 220 \]
\[P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– P(X = 10) puhul:
\[P(X = 10) = {12 \vali 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \vali 10} = 66 \]
\[P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– P(X = 11) puhul:
\[P(X = 11) = {12 \vali 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \vali 11} = 12 \]
\[P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– P(X = 12) puhul:
\[P(X = 12) = {12 \vali 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \vali 12} = 1 \]
\[P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
3. samm: Liida kõik tõenäosused.
\[P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ligikaudu 0.1938477 \]
Seega on tõenäosus, et 12 katsel õnnestub vähemalt 8 korda, ligikaudu 0.1938477 ehk 19.38%.
Järeldus
Binoomjaotus on statistika põhimõiste, mis on paljudes praktilistes rakendustes ülioluline. Mõistes, kuidas arvutada tõenäosusi binoomjaotuse erinevate juhtumite korral, nagu ülaltoodud näidetes näidatud, saame seda kontseptsiooni rakendada reaalsetes olukordades. See harjutus kinnistab ka meie arusaama sellest, kuidas tõenäosusstruktuurid toimivad selges ja organiseeritud kontekstis.
