Näidisküsimused järjestuste ja seeriate kohta
Jadad ja seeriad on matemaatika põhimõisted, millega puututakse sageli kokku algkoolist kuni ülikoolini. Jada on kindla reegli järgi paigutatud arvude kogum, samas kui seeria on selle jada liikmete summa. Selles artiklis käsitleme mitmeid näidisülesandeid ning arutame jadasid ja seeriaid.
Näide 1: Aritmeetiline jada
Küsimus:
Antud on aritmeetiline jada, mille esimene liige (a) = 3 ja vahe (d) = 5. Määrake:
1. Järjestuse kümnes liige.
2. Järjestuse esimese 20 liikme summa.
Arutelu:
1. 10. ametiaeg
Aritmeetilise jada n-nda liikme valem on:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
10. õppeaastaks (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Esimese 20 liikme summa
Aritmeetilise jada esimese n liikme summa (S_n) valem on:
\[
S_n = ∫(n²)(2a + (n-1)d)
\]
Esimese 20 liikme summa (S_20) jaoks:
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Näide 2: Geomeetriline seeria
Küsimus:
Antud on geomeetriline jada, mille esimene liige on (a) = 4 ja suhe on (r) = 2. Määrake:
1. Järjestuse kümnes liige.
2. Järjestuse esimese 8 liikme summa.
Arutelu:
1. 6. ametiaeg
Geomeetrilise jada n-nda liikme valem on:
\[
U_n = a ∫cdot r^{(n-1)}
\]
6. õppeaastaks (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Esimese 8 liikme summa
Geomeetrilise jada esimese n liikme summa (S_n) valem on:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Esimese 8 liikme summa (S_8) jaoks:
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Näide 3: Koonduv geomeetriline lõpmatu rida
Küsimus:
Antud on geomeetriline rida, mille esimene liige (a) = 1 ja suhe (r) = 1/2. Määrake lõpmatu rea summa.
Arutelu:
Koonduva geomeetrilise rea lõpmatu rea (S_∞) summa valem on:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Seega selle sarja kohta:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Näide 4: Ruutarvude jadad ja seeriad
Küsimus:
Antud on ruutarvude jada, mille esimene liige (U_1) = 1, teine liige (U_2) = 4 ja kolmas liige (U_3) = 9. Määrake jada viies liige. Kas see jada on aritmeetiline või geomeetriline jada? Selgitage.
Arutelu:
1. 5. ametiaeg
Ruudukujuliste arvude jada muster on järgmine:
\[
U_n = n^2
\]
5. õppeaastaks (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Liini tüüp
Selle jada aritmeetilise või geomeetrilise olemuse kontrollimiseks kontrollige liikmete vahet (ühist vahet) ja liikmete suhet:
– Mõistete (d) erinevus:
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Kuna vahe ei ole konstantne, ei ole see jada aritmeetiline.
– Hõimudevaheline suhe (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Kuna terminite suhe ei ole konstantne, ei ole see jada geomeetriline.
Seega ei ole see ruutarvude jada ei aritmeetiline ega geomeetriline jada, vaid pigem erijada, mis järgib ruutarvude mustrit.
Näide 5: Lõpmatu aritmeetiline rida
Küsimus:
Kas lõpmatu aritmeetilise rea summat on võimalik arvutada? Kui jah, siis tooge näide. Kui ei, siis selgitage, miks.
Arutelu:
Erinevalt geomeetrilistest ridadest pole lõpmatutel aritmeetilistel ridadel tavaliselt lõplikku summat. See on tingitud asjaolust, et iga liige suureneb või väheneb lineaarselt, seega summa kasvab lõpmatult.
Näiteks vaatleme lõpmatut aritmeetilist rida, mille esimene liige on 1 ja ühine vahe on 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Kui proovime neid summeerida, saab selgeks, et rida ei koondu fikseeritud väärtuseni, vaid läheneb lõpmatusele. Seega on lõpmatu aritmeetilise rea summa üldiselt lõpmatu ja seda ei saa arvutada nagu koonduvat geomeetrilist rida.
-
Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid näidisülesandeid ning arutanud järjestusi ja seeriaid. Oleme üle vaadanud aritmeetilised ja geomeetrilised järjestused, näinud, kuidas arvutada n-liikmelist liiget ja nende esimeste liikmete summat ning vastanud küsimustele lõpmatute ridade kohta. Loodame, et nende põhimõistete ja näidete mõistmine aitab teil matemaatikas järjestuste ja seeriatega tegeledes enesekindlamalt tunda end.
