Näidisküsimused ja arutelu tuletisinstrumentide ahelareegli üle
Ahelvalem on diferentsiaalarvutuse üks põhilisemaid mõisteid, mida kasutatakse kahest või enamast funktsioonist koosneva funktsiooni tuletise arvutamiseks. Selles artiklis käsitleme ahelvalemi põhimõistet, selle kasutamist ja näiteid selle kasutamisest tuletisülesannetes, mis sageli tekivad nii keskkoolis kui ka ülikoolis.
1. Sissejuhatus ahelreeglisse
Enne näidisülesande juurde asumist selgitame välja, mis on ahelreegel. See ütleb, et kui meil on kaks diferentseeruvat funktsiooni f ja g ning me tahame leida nende funktsioonide kompositsiooni tuletise h = f(g(x)), siis funktsiooni h tuletis on:
[h'(x) = f'(g(x))^(c)^(g)^(x)]
Lihtsamalt öeldes arvutame välisfunktsiooni tuletise g(x) järgi ja korrutame tulemuse sisefunktsiooni tuletisega (g(x)).
2. Kompositsiooni funktsiooni mõistmine
Enne näidisülesannete juurde asumist on oluline mõista kompositsioonifunktsioone. Kompositsioonifunktsioon on funktsioon, mis saadakse ühe funktsiooni sisestamisel teise. Näiteks kui meil on \(f(x) = \sin(x) \) ja \(g(x) = x^2 \), siis kahe funktsiooni kompositsioon on \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Kompositsioonifunktsioonides käsitleme sageli funktsiooni g(x) kui „sisemist funktsiooni“ ja funktsiooni f(x) kui „välimist funktsiooni“. Selles näites on sisemine funktsioon x^2 ja välimine funktsioon siinus.
3. Näidisküsimused ja arutelu
Vaatame mõningaid näidisülesandeid, mille lahendamiseks kasutatakse ahelreeglit.
Näide 1:
Arvestades funktsiooni \(y = \cos(3x^2) \), leia y esimene tuletis x suhtes.
Arutelu:
Esmalt tuvastame sisemise ja välise funktsiooni. Siin on sisemine funktsioon \(g(x) = 3x^2 \) ja välimine funktsioon \(f(g) = \cos(g) \).
Me teame:
1. \(g'(x) = 6x \)
2. \(f'(g) = -\sin(g) \)
Ahelreegli järgi saame:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Seega on funktsiooni \(y = \cos(3x^2) \) tuletis:
\[y' = -6x \sin(3x^2) \]
Näide 2:
Leidke funktsiooni \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) esimene tuletis.
Arutelu:
Siin on sisemine funktsioon \(g(x) = 5x^3 + 2x \) ja välimine funktsioon on \(f(g) = e^g \).
Me teame:
1. \(g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \(f'(g) = e^g \)
Ahelreegli järgi saame:
[h'(x) = f'(g(x)) ∫g'(x) = e^{5x^3 + 2x} ∫c(15x^2 + 2)]
Seega funktsiooni \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) tuletis on:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Näide 3:
Leidke funktsiooni y = ∫ln(4x^2 – 5) esimene tuletis.
Arutelu:
Sisemine funktsioon on \(g(x) = 4x^2 – 5 \) ja välimine funktsioon on \(f(g) = \ln(g) \).
Me teame:
1. \(g'(x) = 8x \)
2. \(f'(g) = \frac{1}{g} \)
Ahelreegli järgi saame:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Seega funktsiooni y = ∈ (4x^2 – 5) tuletis on:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Näide 4:
Antud funktsioon \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), leia selle tuletis.
Arutelu:
Sisemine funktsioon on \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) ja välimine funktsioon on \(f(g) = g^4 \).
Me teame:
1. \(g'(x) = 6x + 2 \)
2. \(f'(g) = 4g^3 \)
Ahelreegli järgi saame:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Seega, funktsiooni \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) tuletis on:
\[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Erijuhud ja ahelreeglite väljatöötamine
Mõnikord ei piirdu ahelreegel ainult kahe funktsiooni komponeerimisega. On olukordi, kus funktsioon on rohkem kui kahe funktsiooni kompositsioon, näiteks: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Kolme funktsiooni puhul saab ahelreeglit rakendada kihtidena:
[h'(x) = f'(g(k(x))] ≤ g'(k(x)) ≤ k'(x)]
Näeme, et igas kihis arvutame enne sisemiste kihtide tuletiste juurde liikumist välimiste kihtide tuletised.
Näide 5:
Arvestades y = ∈ ln(2x^2 + 1), leia selle tuletis.
Arutelu:
Sisemine funktsioon on \(k = 2x^2 + 1 \), keskmine: \(g = \ln(k) \) ja välimine: \(f = \sqrt{g} \).
Me teame:
1. \(k'(x) = 4x \)
2. \(g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \(f'(g) = \frac{1}{2qrt{g}} \)
Rakendame ahelareeglit kihtides:
[y' = f'(g(k(x))] ∫g'(k(x)) ∫k'(x) = ∫(1}{2qrt{\ln(2x^2 + 1)}} ∫(1}{2x^2 + 1} ∫(4x)]
Seega funktsiooni \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) tuletis on:
\[y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
Ahelreeglil on diferentsiaalarvutuses oluline roll, eriti funktsioonide komponeerimisel. Ahelreegli mõistmine ja omandamine loob kindla aluse keerukamate arvutusprobleemide lahendamiseks. Selles artiklis on käsitletud mitmeid olulisi näiteid, et anda hea arusaam ahelreegli rakendamisest tuletistele. Loodame, et see arutelu on õpilastele abiks ja seda saab rakendada mitmesugustes keerulistes matemaatilistes olukordades.
