Näidisküsimused kahe sündmuse A ja B liitmise reegli kohta, mis ei ole teineteist välistavad
Pendahuluan
Tõenäosusteaduses on põhimõistete ja nende rakenduste mõistmine ülioluline. Üks sageli esile kerkiv mõiste on tõenäosuste liitmise reegel. Selles artiklis süveneme kahe mittevälistava sündmuse liitmise reeglisse. Mittevälistavad sündmused toimuvad siis, kui kahel sündmusel on ühine võimalik element ehk teisisõnu, mõlemad sündmused võivad toimuda samaaegselt. Arusaamise hõlbustamiseks vaatame näidisülesannet ja selle selgitust.
Põhiteooria
Kui meil on kaks sündmust A ja B, mis ei ole teineteist välistavad, siis saab sündmuste A või B tõenäosuse arvutamiseks liitmisreegli väljendada järgmiselt:
\[ P(A \tass B) = P(A) + P(B) – P(A \tass B) \]
Siin:
– ∫P(A ∫B) ∫ on tõenäosus, et esineb A või B (või mõlemad).
– \(P(A) \) on sündmuse A toimumise tõenäosus.
– ∫P(B)₀ on sündmuse B toimumise tõenäosus.
– ∫P(A ∫B) on tõenäosus, et A ja B esinevad samaaegselt.
Probleemide näide
Küsimus 1: Koolis meeldib 70%-le õpilastest mängida jalgpalli (sündmus A), 40%-le korvpalli (sündmus B) ja 20%-le mõlemat spordiala. Milline on tõenäosus, et õpilasele meeldib mängida jalgpalli või korvpalli?
Arutelu:
On teada:
– \(P(A) = 0.70 \)
– \(P(B) = 0.40 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Kasutades kahe teineteist välistava sündmuse liitmise reeglit:
\[ P(A \tass B) = P(A) + P(B) – P(A \tass B) \]
\[P(A \tass B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[P(A \tass B) = 0.90 \]
Seega on tõenäosus, et õpilasele meeldib jalgpalli või korvpalli mängida, 0.90 ehk 90%.
Küsimus 2: Uuringus meeldib 35%-le vastanutest kohv (sündmus A), 50%-le tee (sündmus B) ja 10%-le mõlemad. Milline on tõenäosus, et vastajale meeldib kohv või tee?
Arutelu:
On teada:
– \(P(A) = 0.35 \)
– \(P(B) = 0.50 \)
– \(P(A \cap B) = 0.10 \)
Kasutades kahe teineteist välistava sündmuse liitmise reeglit:
\[ P(A \tass B) = P(A) + P(B) – P(A \tass B) \]
\[P(A \tass B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[P(A \tass B) = 0.75 \]
Seega on tõenäosus, et vastajale meeldib kohv või tee, 0.75 ehk 75%.
Küsimus 3: Statistiliste andmete põhjal on teada, et 60% inimestest meeldib raamatuid lugeda (sündmus A), 30% inimestest meeldib filme vaadata (sündmus B) ja 15% inimestest meeldib teha mõlemat. Milline on tõenäosus, et inimesele meeldib raamatuid lugeda või filme vaadata?
Arutelu:
On teada:
– \(P(A) = 0.60 \)
– \(P(B) = 0.30 \)
– \(P(A \cap B) = 0.15 \)
Kasutades kahe teineteist välistava sündmuse liitmise reeglit:
\[ P(A \tass B) = P(A) + P(B) – P(A \tass B) \]
\[P(A \tass B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[P(A \tass B) = 0.75 \]
Seega on tõenäosus, et inimesele meeldib raamatuid lugeda või filme vaadata, 0.75 ehk 75%.
Küsimus 4: Restoranis läbi viidud küsitluse kohaselt tellis 55% klientidest pitsat (sündmus A), 35% klientidest tellis pastat (sündmus B) ja 20% klientidest tellis mõlemat. Milline on tõenäosus, et klient tellib kas pitsat või pastat?
Arutelu:
On teada:
– \(P(A) = 0.55 \)
– \(P(B) = 0.35 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Kasutades kahe teineteist välistava sündmuse liitmise reeglit:
\[ P(A \tass B) = P(A) + P(B) – P(A \tass B) \]
\[P(A \tass B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[P(A \tass B) = 0.70 \]
Seega on tõenäosus, et klient tellib pitsat või pastat, 0.70 ehk 70%.
Järeldus
Tõenäosuse uurimisel on kahe mittevälistava sündmuse A ja B liitmise reegel väga oluline, et määrata ühe või mõlema sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus. Valemi \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) abil on lihtne arvutada kahe sündmuse ühist tõenäosust, millel on lõikepunkt või ühine element.
Ülaltoodud näidete põhjal näeme, et selle arvutuse põhietappide mõistmine võimaldab meil seda rakendada erinevates olukordades, olgu see siis hariduses, uuringutes või igapäevaelus. Selgus ja täpsus ühiste elementide äratundmisel sündmuste puhul on tõenäosuse õigeks arvutamiseks üliolulised. Seetõttu aitab järjepidev harjutamine ja põhimõistete mõistmine selle teema omandamisel oluliselt kaasa.
