Näidisküsimused kahe eksklusiivse sündmuse A ja B liitmise reegli arutamise kohta
Tõenäosusteoorias on kahe sündmuse summa reegel üks põhiprintsiipe, mida kasutatakse mitme sündmuse tõenäosuse arvutamiseks. Seda kontseptsiooni rakendatakse sageli erinevates olukordades, et mõista teatud sündmuste võimalikke tulemusi. Selles artiklis käsitleme kahe teineteist välistava sündmuse summa reegel ja toome näiteid selle kontseptsiooni selgitamiseks.
Kahe teineteist välistava sündmuse liitmise reegel
Esiteks on oluline mõista, mida mõeldakse teineteist välistavate sündmuste all. Kahte sündmust nimetatakse eraldiseisvateks või teineteist välistavateks, kui nad ei saa toimuda samal ajal. Teisisõnu, ühe sündmuse hulga ükski element ei ole ka teise sündmuse hulga element.
Tõenäosuse liitmisreegel ütleb, et kui kaks sündmust \(A\) ja \(B\) on teineteist välistavad, siis kummagi sündmuse \(A\) või \(B\) tõenäosus on nende kahe sündmuse tõenäosuste summa. Matemaatiliselt saab seda reeglit väljendada järgmiselt:
\[ P(A \tass B) = P(A) + P(B) \]
kus \(P(A \cup B)\) on sündmuse \(A\) või \(B\) tõenäosus, \(P(A)\) on sündmuse \(A\) tõenäosus ja \(P(B)\) on sündmuse \(B\) tõenäosus.
Näidisaruteluküsimused
Arutagem mõningaid näiteid, et selgitada kahe teineteist välistava sündmuse liitmise reegli rakendamist.
Näidisküsimus 1
Küsimus:
Kuuekülgset täringut visatakse üks kord. Leia tõenäosus, et tulemuseks on 2 või 4.
Arutelu:
Me saame defineerida sündmuse \(A\) väärtuse 2 esinemisena ja sündmuse \(B\) väärtuse 4 esinemisena. Seega:
– \(P(A)\) on väärtuse 2 esinemise tõenäosus.
– \(P(B)\) on väärtuse 4 esinemise tõenäosus.
Kuna täringul on kuus võrdse tõenäosusega külge, on konkreetse väärtuse veeretamise tõenäosus \( \frac{1}{6} \). Seega:
\[P(A) = \frac{1}{6} \]
\[P(B) = \frac{1}{6} \]
Sündmused \(A\) ja \(B\) on teineteist välistavad, kuna väärtused 2 ja 4 ei saa täringuveeretamisel samaaegselt esineda. Seega, kasutades liitmisreeglit kahe teineteist välistava sündmuse korral:
\[P(A \tass B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Seega on tõenäosus, et kuvatav väärtus on 2 või 4, \( \frac{1}{3} \) ehk umbes 33.33%.
Näidisküsimus 2
Küsimus:
Kotis on 10 palli, millest 4 on punased ja 6 sinised. Kui valime suvaliselt ühe palli, siis milline on tõenäosus, et see on punane või sinine?
Arutelu:
Sündmuse \(A\) saame defineerida punase palli võtmisena ja sündmuse \(B\) sinise palli võtmisena. Seega:
– \(P(A)\) on punase palli valimise tõenäosus.
– \(P(B)\) on sinise palli valimise tõenäosus.
Iga sündmuse tõenäosust saab arvutada järgmiselt:
\[ P(A) = \frac{\text{Punaste pallide arv}}{\text{Pallide koguarv}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Siniste pallide arv}}{\text{Pallide koguarv}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Sündmused \(A\) ja \(B\) on teineteist välistavad, kuna pall ei saa olla nii punane kui ka sinine. Seega, kasutades liitmisreeglit kahe teineteist välistava sündmuse korral:
\[P(A \tass B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Seega on tõenäosus, et loositud pall on kas punane või sinine, 1 ehk 100%. See on loogiline, sest kõik kotis olevad pallid on kas punased või sinised.
Näidisküsimus 3
Küsimus:
20 õpilasega klassis, kellest 7-le meeldib matemaatika, 5-le loodusained ja mitte kellelegi ei meeldi mõlemad, valitakse juhuslikult üks õpilane. Leia tõenäosus, et sellele õpilasele meeldib kas matemaatika või loodusained.
Arutelu:
Sündmust \(A\) saame defineerida kui matemaatika meeldimist ja sündmust \(B\) kui loodusteaduste meeldimist. Seega:
– \(P(A)\) on tõenäosus, et õpilasele meeldib matemaatika.
– \(P(B)\) on tõenäosus, et õpilasele meeldivad loodusteadused.
Iga sündmuse tõenäosust saab arvutada järgmiselt:
\[ P(A) = \frac{\text{Matemaatikahuviliste õpilaste arv}}{\text{Õpilaste koguarv}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Õpilaste arv, kellele meeldivad loodusteadused}}{\text{Õpilaste koguarv}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Sündmused \(A\) ja \(B\) on teineteist välistavad, kuna ükski õpilane ei salli neid mõlemaid. Seega, kasutades liitmisreeglit kahe teineteist välistava sündmuse korral:
\[P(A \tass B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Seega on tõenäosus, et juhuslikult valitud õpilasele meeldib kas matemaatika või loodusteadused, \( \frac{3}{5} \) ehk 60%.
Järeldus
Kahe teineteist välistava sündmuse liitmisreegel on tõenäosusteooria põhimõiste, mis hõlbustab ühissündmuse tõenäosuse arvutamist. Ülaltoodud näidetes oleme näinud, et seda põhimõtet saab rakendada reaalsetes olukordades, näiteks täringute veeretamisel, kotist pallide tõmbamisel või õpilaste valimisel klassist. Selle kontseptsiooni mõistmise ja omandamisega saame igapäevaelus erinevate teineteist välistavate sündmuste tõenäosusi tõhusamalt arvutada.
