Näidisküsimused tühikute täitmise reeglite arutamiseks
Kohatäite reegel ehk paigutusreegel on matemaatika ja tõenäosusteooria põhimõiste, mis on paljudes olukordades väga kasulik. Seda reeglit kasutatakse tavaliselt objektide paigutamisel kindlas järjekorras või erinevates paigutustes. Selles artiklis käsitleme mitmeid kohatäite reegliga seotud näidisülesandeid, pakkudes igaühele üksikasjalikke lahendusi.
Pendahuluan
Tühikute täitmine on levinud tehnika, mida kasutatakse kombinatoorikas – matemaatika valdkonnas, mis uurib objektide paigutust, kombineerimist ja valikut. Üks kombinatoorika põhiprintsiipe on korrutamisreegel, mis sätestab, et kui protsessis on mitu etappi ja igal etapil on teatud arv valikuid, siis saab võimalike paigutuste koguarvu leida iga etapi valikute arvu korrutades.
Näiteks kui meil on kaks etappi, kus esimesel etapil on \(m\) valikut ja teisel etapil on \(n\) valikut, siis võimalike korralduste koguarv on \(m \x n\).
Rakendame seda kontseptsiooni mõne näidisülesande lahendamiseks.
Näide 1: Raamatute paigutamine riiulile
Küsimus:
Seal on 5 erinevat raamatut ja raamaturiiul, millel on 5 kohta, mida täita. Mitu võimalust saab neid viit raamatut riiulil paigutada?
Arutelu:
Sel juhul peame viis raamatut paigutama viide erinevasse ruumi. See on permutatsiooniülesanne, sest järjekord on ülioluline. Selle ülesande lahendamiseks saame kasutada ruumi täitmise reeglit või korrutamisreeglit.
1. Esimese toa jaoks on meil 5 raamatuvalikut.
2. Pärast seda, kui üks raamat on esimesse tuppa asetatud, on meil teise tuppa jäänud neli raamatuvalikut.
3. Kolmanda toa jaoks on meil veel 3 raamatuvalikut ja nii edasi.
Seadete koguarvu valem on:
\[5 \korda 4 \korda 3 \korda 2 \korda 1 = 5! = 120 \]
Seega on viie raamatu paigutamiseks 120 võimalust.
Näide 2: Sõnade moodustamine erinevatest tähtedest
Küsimus:
Mitu erinevat sõna saab moodustada, kasutades kõiki sõnas "MATHEMATICS" olevaid tähti ilma neid kordamata?
Arutelu:
Kõigepealt peame vaatama, mitu tähte on sõnas "MATHEMATICS". Seal on 11 tähte, millest mõned korduvad. Korduvad tähed on:
– M koguni 2
– Koguni 3
– T koguni 2
– Teised tähed (E, I, K) esinevad igaüks üks kord.
Korduvate elementide jaoks kasutame permutatsioonivalemit, nimelt:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
kus \(n \) on elementide (tähtede) koguarv ja \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) on iga erineva elemendi korduste arv.
Sõnaga "MATEMAATIKA":
\[n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Seega on moodustatavate sõnade arv:
\[ \frac{11!}{2! \korda 3! \korda 2! \korda 1! \korda 1! \korda 1!} = \frac{39916800}{2 \korda 6 \korda 2 \korda 1 \korda 1 \korda 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Moodustada saab 1 663 200 erinevat sõna.
Näide 3: Kombinatsioonide arvu määramine Martabakis
Küsimus:
Martabaki müüja pakub viit täidist (juust, šokolaad, maapähklid, banaan ja rosinad). Kui klient soovib oma martabakile valida kolm viiest täidisest, mitu erinevat kombinatsiooni ta saab valida?
Arutelu:
See on kombineerimisülesanne, mitte permutatsioon, sest järjekord pole oluline. Kasutame kombineerimisvalemit:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
kus \(n \) on valikute koguarv ja \(k \) on tehtud valikute arv.
Sel juhul n = 5 ja k = 3, seega:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
5 variandi hulgast saab valida 3 sisu 10 erineva kombinatsiooni vahel.
Näide 4: Osalejate paigutus matšis
Küsimus:
Jooksuvõistlusel osaleb 8 inimest. Mitu võimalust saab kolme parimat paremusjärjestusse paigutada?
Arutelu:
See on permutatsiooniülesanne ilma kordusteta, sest positsioon tähendab järjekorra olulisust. Kasutame permutatsioonivalemit:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Sel juhul, n = 8 ja k = 3, siis:
\[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Seega on 8 osaleja kolme parima positsiooni paigutamiseks 336 võimalust.
Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid näidisülesandeid ja nende lahendusi, kasutades tühiku täitmise reegleid erinevates olukordades: raamatute riiulil paigutamisest kuni võistluse võitja väljaselgitamiseni. Nende põhitõdede mõistmine annab teile enesekindlust erinevate kombinatoorika- ja tõenäosusülesannete lahendamisel, millega võite kokku puutuda.
