27 Movimiento de proyectiles: problemas y soluciones
1. Se dispara una bala con un ángulo θ = 60 ° y una velocidad de 20 m/s. La aceleración debida a la gravedad es de 10 m/s² . ¿Cuál es el intervalo de tiempo para alcanzar la altura máxima?
Conocido :
La velocidad inicial de la bala (v o ) = 20 m/s
Ángulo (θ) = 60 ° C
Aceleración debida a la gravedad (g) = 10 m /s²
Se busca: El intervalo de tiempo para alcanzar la altura máxima.
solución:
La velocidad inicial en la dirección horizontal (eje x):
v ox = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
La velocidad inicial en la dirección vertical (eje y):
v oy = vo sen 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
El intervalo de tiempo para alcanzar la altura máxima, calculado mediante esta ecuación:
v ty = v oy + gt
v ty = la velocidad final en la dirección vertical = la velocidad final en el punto más alto = 0 m/s
v oy = la velocidad inicial en la dirección horizontal = 10√3 m/s
g = aceleración debida a la gravedad = 10 m/ s²
t = intervalo de tiempo
El intervalo de tiempo:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 segundos
2. Un objeto se proyecta en un ángulo. La altura del objeto es la misma cuando el intervalo de tiempo es de 1 segundo y de 3 segundos. ¿Cuál es el intervalo de tiempo del objeto en el aire?
solución:
El objeto permaneció en el aire durante 4 segundos.
3. Un avión se mueve horizontalmente a una velocidad de 50 m/s. A una altura de 2 km, se deja caer un objeto desde el avión. La aceleración debida a la gravedad es de 10 m/ s². ¿Cuál es el intervalo de tiempo antes de que el objeto toque el suelo?
Conocido :
Altura = 2 km = 2000 metros
Aceleración debida a la gravedad (g) = 10 m/ s²
Se busca: El intervalo de tiempo (t)
solución:
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t 2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 segundos
4. Un balón de fútbol pateado se eleva del suelo con un ángulo θ = 45 ° con respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de 25 m/s. Determina la distancia de X. La aceleración debida a la gravedad es de 10 m/ s².
Conocido :
Velocidad inicial (v o ) = 25 m/s
Aceleración debida a la gravedad (g) = 10 m/ s²
Ángulo (θ) = 45 °
Se busca: X
solución:
La componente horizontal de la velocidad inicial:
v ox = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
La componente vertical de la velocidad inicial:
v oy = v o sen θ = (25 m/s)(sen 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
El movimiento de proyectiles se puede comprender analizando por separado las componentes horizontal y vertical del movimiento. El movimiento en el eje x se produce a velocidad constante y el movimiento en el eje y a aceleración constante de la gravedad.
Tiempo en el aire (t):
El tiempo en el aire se calcula con la ecuación del movimiento vertical ascendente.
Elige la dirección hacia arriba como positiva y la dirección hacia abajo como negativa.
Conocido :
La velocidad inicial (v o ) = 12.5√2 m/s (dirección ascendente, positiva)
Aceleración debida a la gravedad (g) = -10 m/s² ( dirección hacia abajo, negativa)
Altura (h) = 0
Se busca: Intervalo de tiempo (t)
solución:
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 segundos
La distancia horizontal (X):
Calculado utilizando la ecuación del movimiento lineal uniforme con velocidad constante.
Conocido :
Velocidad (v) = 12.5√2 m/s
Intervalo de tiempo (t) = 2.5√2 segundos
Se busca: Distancia
solución:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metros
5. Un objeto proyectado hacia arriba con un ángulo θ = 30 ° con respecto a la horizontal tiene una velocidad inicial de 20 m/s. La aceleración debida a la gravedad es de 10 m/s² . Determina la altura máxima.
Conocido :
La velocidad inicial (vo) = 20 m/s
Aceleración debida a la gravedad (g) = 10 m/ s²
Ángulo (θ) = 30 °
Se busca : La altura máxima
solución:
Primero, halla la componente vertical de la velocidad inicial (v oy ):
v oy = v o sen 30 o = (20)(sen 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Calcula la altura máxima. Elige la dirección hacia arriba como positiva y la dirección hacia abajo como negativa.
Conocido :
Aceleración debida a la gravedad (g) = -10 m/s² ( dirección hacia abajo , negativa )
La componente vertical de la velocidad inicial (v oy ) = 10 m/s ( dirección ascendente, positiva )
Velocidad a la altura máxima (v ty ) = 0
Se busca: La altura máxima (h)
solución:
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20 h
100 = 20 h
h = 100/20
h = 5 metros
La altura máxima es de 5 metros.
6. Se lanza un objeto con un cierto ángulo de elevación. La altura del objeto es la misma después de 1 segundo y 3 segundos. Determina el tiempo que permanece en el aire.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Solución
Tiempo en el aire = 4 segundos.
La respuesta correcta es b.
7. Una aeronave se mueve horizontalmente a una velocidad de 50 m/s. Cuando la aeronave se encuentra a una altura de 2 km, un objeto puede caer libremente desde ella. Determina el tipo de movimiento.
A. Movimiento de caída libre
B. Movimiento de flotación
C. Movimiento horizontal
D. Movimiento de proyectiles
solución:
El objeto se deja caer desde el avión en movimiento porque tiene la misma velocidad que el avión, es decir, 50 m/s. El movimiento de los objetos no es como la caída libre, sino un movimiento parabólico. Es similar a dejar caer objetos desde el interior de un coche en movimiento.
La respuesta correcta es la D.
8. Se lanza una pelota horizontalmente a 15 m/s desde un acantilado de 60 metros de altura. ¿Cuánto tiempo tarda en tocar el suelo?
Solución: Usando \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), encontramos que el tiempo es \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).
9. Se dispara un proyectil con un ángulo de 30° sobre la horizontal y una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
Solución: Usando \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), la altura máxima es \( h \approx 10.2\ \text{m} \).
10. Se lanza una piedra horizontalmente a 10 m/s desde una torre de 80 metros de altura. Calcula la distancia horizontal que recorre antes de tocar el suelo.
Solución: Utilizando el tiempo hallado de forma similar al Problema 1, la distancia horizontal es \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).
11. Se dispara una bala de cañón a 40 m/s con un ángulo de 45°. Calcula el tiempo de vuelo.
Solución: Usando \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), el tiempo de vuelo es \( t \approx 5.8\ \text{s} \).
12. Se lanza una pelota de béisbol con un ángulo de 60° y una velocidad de 12 m/s. Calcula el alcance horizontal.
Solución: Usando \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), el alcance es \( R \approx 14.0\ \text{m} \).
13. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s a 37° sobre la horizontal. ¿Cuál es la componente vertical de la velocidad?
Solución: La componente vertical es \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).
14. Se lanza un proyectil horizontalmente a 20 m/s desde una altura de 100 metros. ¿Cuál es su velocidad vertical justo antes de tocar el suelo?
Solución: Usando \( v_y = \sqrt{2gh} \), la velocidad vertical es \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).
15. Se lanza una roca con un ángulo de 25° sobre la horizontal y una velocidad inicial de 15 m/s. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad?
Solución: La componente horizontal es \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), y la componente vertical es \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).
16. Se patea un balón de fútbol con una velocidad inicial de 30 m/s y un ángulo de 40° sobre la horizontal. ¿Cuál es su componente de velocidad horizontal?
Solución: La componente horizontal es \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).
17. Una pelota de golf es golpeada con una velocidad inicial de 70 m/s a un ángulo de 20°. ¿Cuál es el tiempo de vuelo?
Solución: Usando la ecuación del tiempo de vuelo, el tiempo es \( t \approx 4.9\ \text{s} \).
18. Se dispara un proyectil desde el suelo con una velocidad de 25 m/s a 53° sobre la horizontal. ¿Cuál es su componente de velocidad vertical inicial?
Solución: La componente vertical es \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
19. Se lanza una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 20 m/s y un ángulo de 50°. ¿Cuál es la altura máxima?
Solución: Usando la ecuación para la altura máxima, la altura es \( h \approx 15.3\ \text{m} \).
20. Se dispara una bala horizontalmente con una velocidad de 200 m/s desde una altura de 10 metros. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
Solución: Usando la ecuación del tiempo, el tiempo es \( t \approx 1.4\ \text{s} \).
21. Se dispara una bala de cañón a 45 m/s con un ángulo de 30°. Calcula el alcance.
Solución: Usando la ecuación de alcance, el alcance es \( R \approx 88.2\ \text{m} \).
22. Se lanza una pelota de baloncesto con un ángulo de 75° y una velocidad de 10 m/s. Calcula el alcance horizontal.
Solución: Usando la ecuación de alcance, el alcance es \( R \approx 5.3\ \text{m} \).
23. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 30 m/s a 22° sobre la horizontal. ¿Cuál es la velocidad vertical justo antes de que toque el suelo?
Solución: Utilizando la ecuación de velocidad vertical, la velocidad vertical es \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).
24. Se lanza una roca horizontalmente a 8 m/s desde una torre de 40 metros de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal que recorre?
Solución: Usando la ecuación de distancia horizontal, la distancia es \( d \approx 16\ \text{m} \).
25. Se patea un balón de fútbol con una velocidad inicial de 12 m/s y un ángulo de 30° sobre la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad?
Solución: La componente horizontal es \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), y la componente vertical es \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).
26. Una pelota de golf es golpeada con una velocidad inicial de 50 m/s a un ángulo de 15°. ¿Cuál es el tiempo de vuelo?
Solución: Usando la ecuación del tiempo de vuelo, el tiempo es \( t \approx 2.6\ \text{s} \).
27. Se dispara un proyectil desde el suelo con una velocidad de 40 m/s a 60° sobre la horizontal. ¿Cuál es su componente de velocidad horizontal inicial?
Solución: La componente horizontal es \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
