Materialo pri Krucmultipliko Uzante Unuobligajn Vektorajn Komponantojn
Ni povas kalkuli la vektoran produton rekte se ni konas la komponantojn de la vektoroj. La proceduro estas la sama kiel por la skalara produto . Unue, ni multiplikas la unuajn vektorojn i , j , kaj k . La vektora produto inter la samaj unuaj vektoroj estas nulo.
mi x i = j x j = k x k = 0
Per referenco al la antaŭe derivita vektora multiplika ekvacio (A x B = AB peko θ) kaj la kontraŭkomuta propreco de vektora multipliko (A x B = - B x A), tiam ni ricevas:
mi x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Nun ni esprimas vektorojn A kaj B laŭ iliaj komponantoj, malkomponas ilian produton kaj uzas la produton de unuaj vektoroj.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Ĉar i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, do:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Se C = A x B tiam la komponantoj de C estas jenaj:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
