Materialo por Punktomultipliko Uzante Unuoblajn Vektorajn Komponantojn
Ni povas kalkuli la skalaran produton rekte se ni konas la x, y kaj z komponantojn de vektoroj A kaj B (la konataj vektoroj).
Por plenumi skalaran produton tiamaniere, ni unue plenumas skalaran produton de la unuaj vektoroj, poste ni esprimas vektorojn A kaj B en iliaj komponantoj, malkomponas la produton kaj uzas la produton de la unuaj vektoroj.
La unuaj vektoroj i , j, kaj k estas perpendikularaj unu al la alia, faciligante la kalkulojn. Uzante la supre derivitan skalaran multiplikan ekvacion ( AB = AB cos teto ), ni ricevas:
mi . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
mi . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nun ni esprimas vektorojn A kaj B laŭ iliaj komponantoj, malkomponas ilian produton kaj uzas la produton de unuaj vektoroj.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Ĉar i . i = j . j = k . k = 1 kaj i . j = i . k = j . k = 0, tiam:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Surbaze de la rezultoj de ĉi tiu kalkulo, oni povas konkludi, ke la skalara produto aŭ skalara produto de du vektoroj estas la sumo de la produktoj de iliaj similaj komponantoj.
Ekzempla Demando 1:
Granda vektoro A dan B respektive estas 5 kaj 4, kiel montrite en la suba bildo. La formita angulo estas 90°oKalkulu ĝin skalara produkto ambaŭ vektoroj.
Diskuto
Antaŭ ol ni kalkulas la skalaran produton de vektoroj A kaj B, ni unue bezonas scii la komponantojn de la dua vektoro.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektoro A nur havas vektorajn komponantojn sur la x-akso kaj vektoro B nur havas vektorajn komponantojn sur la y-akso. La z-komponanto estas nulo ĉar vektoroj A kaj B estas en la xy-ebeno.
Nun ni kalkulas la skalaran produton inter vektoroj A kaj B uzante la skalaran produton ekvacion kun komponantaj vektoroj:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Ni komparu ĝin kun la unua metodo
AB = AB cos teto
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
La rezulto estas la sama.
Ekzempla Demando 2:
Granda vektoro A dan B estas 5 kaj 4 respektive, kiel montrite en la suba bildo. Kalkulu skalara produkto ambaŭ vektoroj, se la formita angulo estas 30°o
Diskuto
Antaŭ ol ni kalkulas la skalaran produton de vektoroj A kaj B, ni unue bezonas scii la komponantojn de la dua vektoro.
La z-komponanto estas nulo ĉar vektoroj A kaj B estas en la xy-ebeno.
Nun ni kalkulas la skalaran produton inter vektoroj A kaj B uzante la skalaran produton ekvacion kun komponantaj vektoroj:
Komparu kun la unua metodo.
