Materialo pri la Leĝoj de Arkimedo
Ĉu vi iam vidis ŝipon? Se vi ne vidis unu persone, espereble vi vidis unu en televido aŭ interreto. Ŝipo kun tre granda maso ne sinkas, dum malgranda, malpeza roko povas. Kial tio estas vera? La respondo estas sufiĉe simpla se vi komprenas la konceptojn de flospovo kaj la principon de Arkimedo.
En ĉiutaga vivo, ni trovos, ke objektoj metitaj en fluidon, ekzemple rokon, havas malpli da pezo ol kiam la objekto ne estas en la fluido. Vi eble havos malfacilaĵon levi rokon de la surfaco de la grundo, sed la sama roko facile leviĝas de la fundo de la naĝejo. Ĉi tio ŝuldiĝas al la flosforto. Flosforto okazas pro la diferenco en fluidpremo ĉe malsamaj profundoj. Fluidpremo pliiĝas kun profundo, ju pli profunda la fluido, des pli granda la fluidpremo. Kiam objekto estas metita en fluidon, estos premodiferenco inter la fluido super la objekto kaj la fluido sub la objekto. La fluido situanta ĉe la fundo de la objekto havas pli grandan premon ol la fluido situanta ĉe la supro de la objekto.
Flospovo
En la bildo, objekto videblas flosanta en akvo. La fluido sub la objekto havas pli grandan premon ol la fluido super la objekto. Tio estas ĉar la fluido sub la objekto havas pli grandan profundon ol la fluido super la objekto (h2 > h1).
F2 = forto penita de la fluido sur la fundon de la objekto, F1 = forto penita de la fluido sur la supro de la objekto, A = surfaca areo de la objekto
La diferenco inter F2 kaj F1 estas la tuta forto penita de la fluido sur objekton, kiun ni konas kiel la flosforto. La grando de la flosforto estas:
F-flosebleco = F2 − F1
F-flosebleco = (ρ gh2 A) − (ρ gh1 A)
F-flosemo = ρ g A (h2 - h1)
F-flosemo = ρ g A h
F-flosemo = ρ g V
Informoj:
ρ = fluida denseco
g = akcelo pro gravito
V = volumeno de la objekto en la fluido
tiel ke la ekvacio kiu deklaras la magnitudon de la flosforto (F flosemforto) supre povas esti skribita kiel:
F-flosebleco = ρF g V → m = ρ V
F-flosebleco = mF g
F-flosebleco = wF
mF g = wF = pezo de fluido, kiu havas la saman volumenon kiel la volumeno de la subakvigita objekto.
la principo de Arkimedo
Surbaze de la supra ekvacio, ni povas diri, ke la flosforto egalas al la pezo de la delokiĝinta fluido, la volumeno de la delokiĝinta fluido egalas al la volumeno de la objekto mergita en la fluidon.
Se objekto estas mergita en fluidon kaj flosas, kun nur parto de la objekto subakvigita, tiam la volumeno de la delokiĝinta fluido egalas la volumenon de la parto de la objekto subakvigita en la fluido. Sendepende de la formo aŭ grandeco de la objekto, la sama afero okazos al ĉiuj. Ĉi tio estas la verko de Arkimedo (287-212 a.K.), kiu nun estas konata kiel la Principo de Arkimedo.
La principo de Arkimedo deklaras, ke:
Kiam objekto estas tute aŭ parte mergita en fluido, la fluido penos supreniran forton (flosforto) sur la objekton, kie la magnitudo de la suprenira forto (flosforto) egalas al la pezo de la fluido delokigita.
La Rakonto de Arkimedo
Arkimedo, kiu vivis inter 287 kaj 212 a.K., estis komisiita de reĝo Hierono la 2-a por esplori ĉu la krono farita por la reĝo estis farita el pura oro. Arkimedo komence konfuziĝis pri ĉu la krono estis farita el pura oro aŭ ĉu ĝi enhavis aliajn metalojn. La problemo estis, ke la krono estis neregula laŭ formo kaj ne povus esti detruita por determini ĉu ĝi estis pura oro.
La ideo por determini ĉu reĝa krono estas farita el pura oro estas unue determini la specifan pezon de la krono kaj poste kompari ĝin kun la specifa pezo de oro. Se la krono estas farita el pura oro, tiam la specifa pezo de la krono = la specifa pezo de oro.
La specifa pezo de objekto estas la rilatumo inter la pezo de la objekto en aero kaj la pezo de akvo kun la sama volumeno kiel la objekto. Matematike, ĝi estas skribita:
Kiel oni povas determini la pezon de akvo, kiu havas la saman volumenon kiel la volumeno de objekto?
Laŭ Arkimedo, la pezo de akvo kun la sama volumeno kiel la volumeno de la objekto = la grandeco de la flosforto kiam la objekto sinkas (la tuta objekto estas subakvigita en akvo). Ĉi tio estas la sama kiel la pezo de la objekto perdita kiam pesita en akvo. Tiel:
Por determini la specifan pezon de la krono, la krono unue estas pesita en aero (Pezo de la Krono en Aero). Poste, la krono estas metita en akvon kaj poste pesita denove por akiri la pezon de la perdita krono. Do:
Post kiam la specifa pezo de la krono estas akirita, ĝi estas komparata kun la specifa pezo de oro. La specifa pezo de oro estas 19,3. Se la specifa pezo de la krono egalas la specifan pezon de oro, tiam la krono estas farita el pura oro. Tamen, se la krono ne estas farita el pura oro, tiam la specifa pezo de la krono ne estos la sama kiel la specifa pezo de oro.
Kial Ŝipoj Ne Sinkas?
Se la denseco de objekto estas malpli ol la denseco de akvo, tiam la objekto flosos. Aliflanke, se la denseco de objekto estas pli granda ol la denseco de akvo, la objekto sinkos. Plej multaj ŝipoj estas faritaj el fero kaj ŝtalo. Denseco de fero kaj ŝtalo = 7,8 x 103 kg / m3 dum la denseco de akvo = 1,00 x 103 kg / m3Ŝajnas, ke la denseco de fero kaj ŝtalo estas pli granda ol la denseco de akvo. En ĉi tiu kazo, la specifa pezo de fero kaj ŝtalo = 7,8. Ŝipoj faritaj el fero kaj ŝtalo devus sinki. Kial ŝipoj ne sinkas? La totala denseco de la ŝipo estas pli malgranda ol la denseco de akvo aŭ marakvo.
Ekzemplaj demandoj pri la leĝo de Arkimedo
Ekzempla demando 1:
40 kg ŝtono estas ĉe la fundo de naĝejo. Se la volumeno de la roko = 0,2 m³3 kiom da forto minimumo bezonata por levi la ŝtonon?
Diskuto
Estas konate, ke:
Maso de ŝtono (m) = 40 Kg
Volumeno de ŝtono (V) = 0,02 m³3
Denseco de akvo = 1000 kg/m³3
Akcelo pro gravito (g) = 10 m/s2
Demandis: F minimumo
Respondo:
F-flosebleco = w F
F-flosebleco = m F g → m = pV
F-flosemo = ρ F g V
F-flosebleco = (1000 kg/m3 )(10 m/s2)(0,02 metroj3)
F-flosebleco = 200 kg m/s2
F-flosebleco = 200 N
Pezo de ŝtono (w) = mg
Pezo de ŝtono = (40 kg)(10 m/s2)
Pezo de ŝtono = 400 kg m/s2
Pezo de ŝtono = 400 N
Minimuma forto bezonata por levi rokon:
Pezo de ŝtono – Flosforto = 400 N – 200 N = 200 Neŭtonoj.
Ekzempla demando 2:
Pezo de objekto en aero = 5000 kg m/s2 kaj la pezo de la objekto en akvo = 4000 kg m/s2Se la denseco objekto = 2000 kg/m²3 Kio estas la maso kaj volumeno de la objekto? g = 10 m/s2
Diskuto
Akcelo pro gravito (g) = 10 m/s2
Denseco de objekto = 2000 kg/m²3
Denseco de akvo = 1000 kg/m³3
Pezo de objekto en aero = 5000 kg m/s2
Pezo de objekto en akvo = 4000 kg m/s2
Flosforto (F flosforto) = Pezo de objekto en aero – Pezo de objekto en akvo
F-flosebleco = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/s2
F-flosebleco = 1000 kg m/s2
F-flosebleco = Pezo de delokiĝinta akvo
F-flosebleco = (maso de akvo)(g)
F-flosebleco = (volumo de akvo delokigita)(denseco de akvo)(g)
Volumeno de akvo delokiĝinta = Volumeno de objekto subakviĝinta en akvo 😉
Do la volumeno de la objekto = 0,1 m²3
Maso de objekto = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg/m²)3 )(0,1 metroj3 )
m = 200 kilogramoj
Maso de objekto = 200 kg
Ekzempla demando 3:
Kiom da heliumo necesas se balono devas levi ŝarĝon de 500 kg?
Diskuto
Heliumdenseco = 0,1786 kg/m³3
Aerdenseco = 1,293 kg/m²3
Flosforto = Pezo de aero delokigita = Pezo de ŝarĝo + Pezo de heliumo
Flosforto = Pezo de ŝarĝo + pezo de heliumo
Flosforto = (maso de ŝarĝo)(g) + (maso de heliumo)(g)
Flosforto = (maso de ŝarĝo + maso de heliumo)g —- ekvacio 1
Flosforto = Pezo de delokiĝinta aero
Flosforto = (maso de delokiĝinta aero)(g) —- ekvacio 2
Ni kombinas ekvacion 1 kaj ekvacion 2:
(maso de ŝarĝo + maso de heliumo)(g) = (maso de delokiĝinta aero)(g)
maso de ŝarĝo + maso de heliumo = maso de aero delokigita
500 kg + (ρ heliumo)(V heliumo) = (ρ aero)(V aero)
500 kg = (ρ aero)(V aero) – (ρ heliumo)(V heliumo)
Volumeno de aero delokiĝinta (V aero) = Volumeno de heliumo pleniganta la balonon (V heliumo)
500 kg = (ρ aero – ρ heliumo)(V)
Ĉi tiu estas la minimuma volumeno de heliumo bezonata por levi pezon ĉe la surfaco de la Tero. Por permesi al la balono flosi pli alten, la volumeno de heliumo devas esti pliigita. Ĉi tio estas ĉar aerdenseco malpliiĝas kun alteco.
