Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας σε καμπύλες επιφάνειες – προβλήματα και λύσεις
1. Αν η ταχύτητα της μπάλας στο σημείο Α είναι 6 m/s, η ταχύτητα της μπάλας στο σημείο Β είναι √92 m/s και η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας είναι g = 10 m/s² . Ποιο είναι το ύψος του σημείου Β (h);
Γνωστό:
Ταχύτητα της μπάλας στο σημείο Α (vA) = 6 m/s
Ταχύτητα της μπάλας στο σημείο Β (vB ) = √92 m/s
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ s²
Το ύψος του A (h A ) = 5.6 μέτρα
Το ύψος του B (hB ) = h
Ζητείται: Το ύψος του σημείου Β (h)
Λύση:
Η αρχική μηχανική ενέργεια = η βαρυτική δυναμική ενέργεια
Στο σημείο Α, η ταχύτητα της μπάλας = 0, άρα η κινητική ενέργεια της μπάλας = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Η μπάλα έχει ύψος 5.6 μέτρα, επομένως έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Η αρχική μηχανική ενέργεια = η βαρυτική δυναμική ενέργεια + κινητική ενέργεια = 56 m + 0 = 56 m
Η τελική μηχανική ενέργεια = η βαρυτική δυναμική ενέργεια + η κινητική ενέργεια
Στο σημείο Β, το ύψος της μπάλας είναι h. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Η κινητική ενέργεια της μπάλας: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Η τελική μηχανική ενέργεια = η βαρυτική δυναμική ενέργεια + η κινητική ενέργεια = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:
Η αρχική μηχανική ενέργεια = η τελική μηχανική ενέργεια
56 μ = μ (10 ώρες + 46)
56 = 10 ώρες + 46
56 – 46 = 10 ώρες
10 = 10 ώρες
h = 10 / 10
ύψος = 1 μέτρα
2.
Αν η αρχική ταχύτητα = 0, η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας = 10 m/s² , τότε ποια είναι η ταχύτητα στο ύψος του Β;
Γνωστό:
Η αρχική ταχύτητα (v₂o ) = 0
Το αρχικό ύψος (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Το τελικό ύψος (h t ) = 0
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms -2
Ζητείται: Η τελική ταχύτητα (v t )
Λύση:
Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας:
ΔΚΕ = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας:
ΔPE = mg (h t – h o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m
Υπολογίστε την τελική ταχύτητα (v t ) χρησιμοποιώντας την εξίσωση της αρχής διατήρησης της μηχανικής ενέργειας :
0 = ΔΚΕ + ΔΠΕ
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t2 = 400 m
1/2 v t 2 = 400
v t 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- Τι εννοούμε με τον όρο «διατήρηση της μηχανικής ενέργειας»;
- Απάντηση: Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σημαίνει ότι η συνολική μηχανική ενέργεια (άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας) ενός απομονωμένου συστήματος παραμένει σταθερή εάν ασκούνται σε αυτό μόνο συντηρητικές δυνάμεις, όπως η βαρύτητα.
- Πώς ένα αντικείμενο που κινείται σε μια καμπύλη επιφάνεια (όπως μια μπάλα που κυλάει σε μια καμπύλη ράμπα) διατηρεί τη μηχανική του ενέργεια;
- Απάντηση: Καθώς το αντικείμενο κινείται προς τα κάτω στην καμπύλη επιφάνεια, η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια, αλλά η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή, υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν μη συντηρητικές δυνάμεις (όπως η τριβή) που να παράγουν έργο.
- Αν μια μπάλα απελευθερωθεί από την ηρεμία στην κορυφή μιας καμπύλης ράμπας, πώς αλλάζει η κινητική της ενέργεια καθώς κινείται προς τα κάτω;
- Απάντηση: Η κινητική ενέργεια της μπάλας αυξάνεται καθώς κινείται προς τα κάτω στην ράμπα επειδή η δυναμική της ενέργεια μειώνεται και μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια.
- Ελλείψει τριβής, πώς θα συγκρινόταν η ταχύτητα μιας μπάλας στο κάτω μέρος μιας καμπύλης τσουλήθρας με μια ευθεία τσουλήθρα ίδιου ύψους;
- Απάντηση: Η ταχύτητα της μπάλας στο κάτω μέρος θα ήταν η ίδια τόσο για τις καμπύλες όσο και για τις ευθείες ολισθήσεις, επειδή η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από το κατακόρυφο ύψος και όχι από την τροχιά που ακολουθεί.
- Γιατί μια μπάλα μπορεί να μην φτάσει στο αρχικό της ύψος όταν τυλίγεται σε μια καμπύλη ράμπα αφού κατέβει από ένα ορισμένο ύψος;
- Απάντηση: Εάν υπάρχουν μη συντηρητικές δυνάμεις όπως η τριβή που ασκούνται στην μπάλα, αυτές θα παράγουν έργο αντίθετα με την κίνηση, μετατρέποντας μέρος της μηχανικής ενέργειας της μπάλας σε άλλες μορφές, όπως θερμότητα. Ως αποτέλεσμα, η μπάλα μπορεί να μην έχει αρκετή ενέργεια για να φτάσει στο αρχικό της ύψος.
- Αν δύο αντικείμενα διαφορετικού σχήματος (π.χ., μια σφαίρα και ένας κύβος) γλιστρήσουν κάτω από μια καμπύλη ράμπα από το ίδιο ύψος χωρίς να κυλήσουν, θα έχουν την ίδια ταχύτητα στο κάτω μέρος; Γιατί;
- Απάντηση: Ναι, θα έχουν την ίδια ταχύτητα στο κάτω μέρος. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει κύλιση και τριβή, ο μόνος παράγοντας που καθορίζει την ταχύτητά τους είναι η αρχή διατήρησης της ενέργειας με βάση το αρχικό ύψος και όχι το σχήμα τους.
- Πώς επηρεάζει η καμπυλότητα μιας επιφάνειας την κάθετη δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο που κινείται κατά μήκος της;
- Απάντηση: Η καμπυλότητα προκαλεί την αλλαγή της κατεύθυνσης της κάθετης δύναμης καθώς το αντικείμενο κινείται. Σε μια κοίλη προς τα πάνω επιφάνεια (όπως το εσωτερικό ενός μπολ), η κάθετη δύναμη είναι μεγαλύτερη στον πυθμένα λόγω της κεντρομόλου δύναμης που απαιτείται για την καμπύλη κίνηση. Αντίθετα, σε μια κυρτή επιφάνεια, η κάθετη δύναμη μπορεί να μειωθεί ή ακόμα και να μηδενιστεί (το αντικείμενο εγκαταλείπει την επιφάνεια) στο ανώτατο σημείο.
- Ποιος είναι ο ρόλος της ακτίνας καμπυλότητας στη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας σε μια καμπύλη επιφάνεια;
- Απάντηση: Η ίδια η ακτίνα καμπυλότητας δεν επηρεάζει άμεσα την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Ωστόσο, μπορεί να επηρεάσει την κάθετη δύναμη και, εάν υπάρχει τριβή, την ποσότητα ενέργειας που χάνεται από μη συντηρητικές δυνάμεις.
- Αν μια τροχιά έχει μια κλίση στη μέση (σαν μια καμπύλη σχήματος U), πώς μεταβάλλεται η μηχανική ενέργεια ενός αντικειμένου καθώς κινείται μέσα από την κλίση και προς τα πάνω στην άλλη πλευρά;
- Απάντηση: Η δυναμική ενέργεια του αντικειμένου θα μειωθεί καθώς κινείται προς την κοίτη και θα αυξήσει την κινητική του ενέργεια. Καθώς κινείται προς τα πάνω, η κινητική του ενέργεια θα μειωθεί και η δυναμική του ενέργεια θα αυξηθεί. Εάν δράσουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις, η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης.
- Μπορεί ένα αντικείμενο να έχει τόσο μεταφορική όσο και περιστροφική κινητική ενέργεια όταν κινείται σε μια καμπύλη επιφάνεια;
- Απάντηση: Ναι, αν ένα αντικείμενο όπως μια μπάλα κυλήσει (χωρίς να ολισθήσει) σε μια καμπύλη επιφάνεια, θα έχει μεταφορική κινητική ενέργεια λόγω του κέντρου μάζας που κινείται και περιστροφική κινητική ενέργεια λόγω της περιστροφής του γύρω από τον άξονά του.
