Υλικό Πολλαπλασιασμού με Χρήση Μοναδιαίων Διανυσματικών Στοιχείων
Μπορούμε να υπολογίσουμε το διασταυρούμενο γινόμενο απευθείας αν γνωρίζουμε τις συνιστώσες των διανυσμάτων. Η διαδικασία είναι η ίδια όπως και για το ασυνεχές γινόμενο . Αρχικά, πολλαπλασιάζουμε τα μοναδιαία διανύσματα i , j και k . Το διανυσματικό γινόμενο μεταξύ των ίδιων μοναδιαίων διανυσμάτων είναι μηδέν.
i x i = j x j = k x k = 0
Αναφερόμενοι στην προηγουμένως εξαγόμενη εξίσωση πολλαπλασιασμού διανυσμάτων (A x B = AB αμαρτία θ) και η αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού διανυσμάτων (A x B = - B x A), τότε παίρνουμε:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Τώρα εκφράζουμε τα διανύσματα Α και Β ως προς τα συστατικά τους, αναλύουμε το γινόμενο τους και χρησιμοποιούμε το γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων.
A x Β = (Axi + Ayj + Azk) Χ (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Επειδή i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, έτσι:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Αν C = A x B , τότε τα στοιχεία του C είναι τα εξής:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
