Υλικό πολλαπλασιασμού τελείων χρησιμοποιώντας στοιχεία μοναδιαίου διανύσματος
Μπορούμε να υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο απευθείας αν γνωρίζουμε τις συνιστώσες x, y και z των διανυσμάτων A και B (τα γνωστά διανύσματα).
Για να εκτελέσουμε ένα τετράγωνο γινόμενο με αυτόν τον τρόπο, πρώτα εκτελούμε ένα τετράγωνο γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων, στη συνέχεια εκφράζουμε τα διανύσματα Α και Β στις συνιστώσες τους, αποσυνθέτουμε το γινόμενο και χρησιμοποιούμε το γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων.
Τα μοναδιαία διανύσματα i , j και k είναι κάθετα μεταξύ τους, διευκολύνοντας τους υπολογισμούς. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση πολλαπλασιασμού βαθμωτού μεγέθους που προέκυψε παραπάνω ( AB = AB cos θ ), λαμβάνουμε:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Τώρα εκφράζουμε τα διανύσματα Α και Β ως προς τα συστατικά τους, αναλύουμε το γινόμενο τους και χρησιμοποιούμε το γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Επειδή i . i = j . j = k . k = 1 και i . j = i . k = j . k = 0, τότε:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
Α . Β = Α x Β x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By y ( 1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Με βάση τα αποτελέσματα αυτού του υπολογισμού, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι το βαθμωτό γινόμενο ή το τετράγωνο γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι το άθροισμα των γινομένων των όμοιων συνιστωσών τους.
Παράδειγμα Ερώτησης 1:
Μεγάλο διάνυσμα A dan B αντίστοιχα είναι 5 και 4, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η γωνία που σχηματίζεται είναι 90°oΜέτρησέ το προϊόν κουκκίδων και τα δύο διανύσματα.
Συζήτηση
Πριν υπολογίσουμε το ασυνεχές γινόμενο των διανυσμάτων Α και Β, πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε τις συνιστώσες του δεύτερου διανύσματος.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) αμαρτία 90 o = (4) (1) = 4
Β z = 0
Το διάνυσμα Α έχει μόνο διανυσματικά στοιχεία στον άξονα x και το διάνυσμα Β έχει μόνο διανυσματικά στοιχεία στον άξονα y. Η συνιστώσα z είναι μηδέν επειδή τα διανύσματα Α και Β βρίσκονται στο επίπεδο xy.
Τώρα υπολογίζουμε το ακιδωτό γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων A και B χρησιμοποιώντας την εξίσωση ακιδωτού γινομένου με διανύσματα συστατικών:
Α. Β = Αx Bx + AyBy + AzBz
Α. Β = (5) (0) + (0) (4) + 0
Α. Β = 0 + 0 + 0
Α. Β = 0
Ας το συγκρίνουμε με την πρώτη μέθοδο
AB = AB cos θήτα
ΑΒ = (4)(5) cos 90
ΑΒ = (4) (5) (0)
ΑΒ = 0
Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.
Παράδειγμα Ερώτησης 2:
Μεγάλο διάνυσμα A dan B είναι 5 και 4 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Υπολογίστε προϊόν κουκκίδων και τα δύο διανύσματα, αν η γωνία που σχηματίζεται είναι 30°o
Συζήτηση
Πριν υπολογίσουμε το ασυνεχές γινόμενο των διανυσμάτων Α και Β, πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε τις συνιστώσες του δεύτερου διανύσματος.
Η συνιστώσα z είναι μηδέν επειδή τα διανύσματα A και B βρίσκονται στο επίπεδο xy.
Τώρα υπολογίζουμε το ακιδωτό γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων A και B χρησιμοποιώντας την εξίσωση ακιδωτού γινομένου με διανύσματα συστατικών:
Συγκρίνετε με την πρώτη μέθοδο.
