Τα διανύσματα δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, επομένως ο συνηθισμένος πολλαπλασιασμός δεν μπορεί να εφαρμοστεί απευθείας σε αυτά. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιασμό διανυσμάτων. Υπάρχουν δύο τύποι πολλαπλασιασμού διανυσμάτων: ο πολλαπλασιασμός με τελείες και ο σταυροειδής πολλαπλασιασμός. Ο πολλαπλασιασμός με τελείες ονομάζεται επίσης βαθμωτός πολλαπλασιασμός επειδή παράγει μια βαθμωτή ποσότητα. Ο σταυρωτός πολλαπλασιασμός ονομάζεται επίσης πολλαπλασιασμός διανυσμάτων επειδή παράγει μια διανυσματική ποσότητα. Για παράδειγμα, υπάρχουν δύο διανύσματα, δηλαδή A dan BΒαθμωτός πολλαπλασιασμός διανυσμάτων A dan B δηλώνεται με ΑΒ ΚΔεδομένου ότι η αρένα χρησιμοποιεί σημειογραφία με τελείες, αυτός ο πολλαπλασιασμός ονομάζεται προϊόν κουκκίδωνΠολλαπλασιασμός διανύσματος του A dan B δηλώνεται με A x ΒΕπειδή χρησιμοποιεί συμβολισμό x, τότε αυτός ο πολλαπλασιασμός ονομάζεται σταυροειδής πολλαπλασιασμός.
Για παράδειγμα, δεδομένου του διανύσματος A dan B όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Το τετράγωνο γινόμενο μεταξύ διανυσμάτων A dan B γραμμένο ως ΑΒ (A τιτικ B).
Για να ορίσετε το ακιδωτό γινόμενο των διανυσμάτων A dan B (ΑΒ), απεικονιζόμενο διάνυσμα A και διανύσματα Από yπου σχηματίζει μια γωνία θ. Στη συνέχεια σχεδιάζουμε την προβολή του διανύσματος B προς την κατεύθυνση του διανύσματος AΑυτή η προβολή είναι ένα στοιχείο του διανύσματος B το οποίο είναι παράλληλο με το διάνυσμα A, το οποίο έχει το ίδιο μέγεθος με B καλάθι θ.
Έτσι, ορίζουμε ΑΒ ως ένα μεγάλο διάνυσμα A πολλαπλασιασμένο με τις συνιστώσες του διανύσματος B το οποίο είναι παράλληλο με AΜαθηματικά μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:
AB καλάθι θ είναι ένας συνηθισμένος αριθμός (βαθμωτός). Επομένως, το τετράγωνο γινόμενο ονομάζεται επίσης βαθμωτό γινόμενο. Τι γίνεται αν το τετράγωνο γινόμενο μεταξύ διανυσμάτων A dan B αντιστραφεί σε B.A. ; πριν ορίσουμε B.A., πρώτα σχεδιάζουμε την προβολή του διανύσματος A σε διανύσματα Β (δείτε την παρακάτω εικόνα).
Με βάση αυτήν την εικόνα, μπορούμε να ορίσουμε B.A. ως ένα μεγάλο διάνυσμα B πολλαπλασιασμένο με τις συνιστώσες του διανύσματος A το οποίο είναι παράλληλο με BΜαθηματικά μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:
Αποτέλεσμα προϊόντος Dot ΑΒ = AB καλάθι θ και το αποτέλεσμα του τελικού γινομένου B.A. = BA καλάθι θ. Επειδή AB καλάθι θ = BA καλάθι θ, τότε ισχύει ΑΒ = B.A.
Μερικά πράγματα που πρέπει να γνωρίζετε για τον πολλαπλασιασμό με τελείες:
1. Το τελικό γινόμενο ικανοποιεί τον αντιμεταθετικό νόμο.
ΑΒ = B.A.
2. Το τελικό γινόμενο ικανοποιεί τον επιμεριστικό νόμο.
Α. (Β + Γ) = ΑΒ + AC
3. Εάν το διάνυσμα A dan B κάθετες μεταξύ τους, τότε το αποτέλεσμα του τελικού γινομένου ΑΒ = 0
Όταν το διάνυσμα A dan B κάθετες μεταξύ τους, τότε η γωνία που σχηματίζεται είναι 90°oCos 90o = 0. Έτσι: ΑΒ = AB καλάθι ΤΕΤΑ = AB cos 90o = 0. Από την άλλη πλευρά, B.A. = BA καλάθι ΤΕΤΑ = BA cos 90o = 0
4. Εάν το διάνυσμα A και διανύσματα B μονόδρομος, έτσι ΑΒ = AB cos 0o = AB
Όταν το διάνυσμα A dan B προς την ίδια κατεύθυνση, τότε η γωνία που σχηματίζεται είναι 0oCos 0 = 1. Έτσι, ΑΒ = AB καλάθι ΤΕΤΑ = AB cos 0o = ABΑντίθετα B.A. = BA καλάθι ΤΕΤΑ = BA cos 0o = BA
(Δεν πρέπει να σας μπερδεύουν με AB dan BAΜεγάλο AB = μεγάλο BAΓια παράδειγμα, το μέγεθος του διανύσματος A = 2. μέγεθος διανύσματος B = 3. τότε ΑΒ = 2.3 = 6; αυτό είναι το ίδιο με B.A. = 3.2 = 6.
5. Μια άλλη συνθήκη για να έχουν δύο διανύσματα την ίδια κατεύθυνση, αν Α = Β στη συνέχεια αποκτήθηκε AA = A2 ή ΒΒ = Β2
6. Αν το διάνυσμα A dan B αντίθετη κατεύθυνση (όταν δύο διανύσματα έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, τότε η γωνία που σχηματίζεται είναι 180º), τότε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ΑΒ = AB cos 180º = ΑΒ (-1) = -ΑΒ.
Cos 180º = -1.
Παράδειγμα προβλημάτων:
Ένα διάνυσμα A έχει μέγεθος 4 μονάδες και είναι διάνυσμα B έχει 3 μονάδες. Να προσδιορίσετε το τετράγωνο γινόμενο των δύο διανυσμάτων αν οι γωνίες που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα είναι 60º, 90º και 180º.o
Συζήτηση
Επειδή ΑΒ = B.A. τότε μπορούμε να επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε ένα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε ΑΒ
ΑΒ = AB καλάθι ΤΕΤΑ
Μεγάλο A = 4 μονάδες και μεγάλο B = 3 μονάδες.
