Bernoullis Prinzip und Gleichungsmaterial
Wenn wir mit dem Motorrad recht schnell fahren, bauscht sich unsere Kleidung hinten auf. Falls du noch nicht Motorrad fahren kannst, beobachte deine Eltern oder Freunde, die Motorrad fahren. Bei ihnen bauscht sich die Kleidung hinten meist auf, wenn das Motorrad schnell fährt. Manchmal, wenn starker Wind weht, kann sich die Haustür von selbst schließen, obwohl der Wind draußen weht und die Tür drinnen ist.
Dies lässt sich mit dem Bernoulli-Prinzip erklären. Daniel Bernoulli (1700–1782) entdeckte ein Prinzip, mit dem sich einige der oben genannten Punkte erklären lassen.
Bernoullis Prinzip
Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass der Druck dort niedrig ist, wo die Strömungsgeschwindigkeit hoch ist. Umgekehrt steigt der Druck bei niedriger Strömungsgeschwindigkeit. Fährt ein Motorrad schnell, ist die Luftgeschwindigkeit vor und neben dem Körper hoch. Dadurch sinkt der Luftdruck. Da der Rücken durch die Vorderseite des Körpers abgeschirmt wird, ändert sich die Luftgeschwindigkeit direkt hinter dem Körper nicht. Dadurch steigt der Luftdruck hinter dem Körper. Dieser Druckunterschied, bei dem der Luftdruck direkt hinter dem Körper höher ist, drückt das Hemd nach hinten und lässt es hinten bauschen.
Was passiert mit einer Tür, die sich bei starkem Wind von selbst schließt? Die Luft draußen bewegt sich schneller als die Luft drinnen. Dadurch ist der Luftdruck draußen niedriger als drinnen. Aufgrund dieses Druckunterschieds wird die Tür nach außen gedrückt, wo der Luftdruck drinnen höher ist. Anders ausgedrückt: Die Tür bewegt sich von einem Ort mit höherem Luftdruck zu einem Ort mit niedrigerem Luftdruck.
Bernoullis Gleichung
Wir haben bereits das Bernoulli-Prinzip kennengelernt. Bernoulli hat dieses Prinzip auch quantitativ entwickelt. Zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung setzen wir eine stationäre, laminare Strömung, Inkompressibilität und niedrige Viskosität voraus, die jedoch vernachlässigt werden können.
In der Diskussion der Kontinuitätsgleichung haben wir gelernt, dass die Durchflussrate eines Fluids auch von der Querschnittsfläche des Strömungsrohrs abhängen kann. Gemäß dem oben erläuterten Bernoulli-Prinzip kann der Fluiddruck ebenfalls von der Durchflussrate und der Höhe des Fluids abhängen. Der Zusammenhang zwischen Druck, Durchflussrate und Fließhöhe lässt sich aus der Bernoulli-Gleichung ableiten.
Die Bernoulli-Gleichung ist von großer Bedeutung, da sie zur Analyse von Flugzeugflügen, Wasserkraftwerken, Rohrleitungssystemen usw. verwendet werden kann. Um die Bernoulli-Gleichung allgemein anwendbar zu machen, nehmen wir an, dass das Fluid durch ein Strömungsrohr mit ungleichen Querschnittsflächen und unterschiedlichen Höhen strömt (siehe Abbildung unten). Zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung wenden wir den Energieerhaltungssatz auf das Fluid im Strömungsrohr an. Anschließend berechnen wir die Fluidmenge und die zum Bewegen des Fluids verrichtete Arbeit.
Die undurchsichtige Farbe im Strömungsrohr im Bild zeigt einen Flüssigkeitsstrom an, während die weiße Farbe bedeutet, dass keine Flüssigkeit fließt.
Die Flüssigkeit im Querschnitt 1 (linke Seite) fließt um die Strecke L₁ und zwingt die Flüssigkeit im Querschnitt 2 (rechte Seite) um die Strecke L₂ zu bewegen . Da der Querschnitt 2 auf der rechten Seite kleiner ist, ist die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit auf der rechten Seite des Strömungsrohrs größer (siehe Kontinuitätsgleichung). Dies führt zu einer Druckdifferenz zwischen Querschnitt 2 (rechte Seite des Strömungsrohrs) und Querschnitt 1 (linke Seite des Strömungsrohrs) – siehe Bernoullis Prinzip. Die Flüssigkeit auf der linken Seite von Querschnitt 1 übt einen Druck P₁ auf die Flüssigkeit auf der rechten Seite aus und verrichtet Arbeit in Höhe von:
Dann lässt sich die Gleichung W 1 wie folgt schreiben:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Im Querschnitt 2 (rechte Seite des Strömungsrohrs) wird folgende Arbeit am Fluid verrichtet:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die wirkende Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Daher verrichtet die Flüssigkeit Arbeit rechts von Abschnitt 2. Zusätzlich verrichtet die Schwerkraft ebenfalls Arbeit an der Flüssigkeit. Im obigen Fall wird eine bestimmte Flüssigkeitsmasse von Abschnitt 1 bis zur Strecke L₁ nach Abschnitt 2 bis zur Strecke L₂ bewegt , wobei das Flüssigkeitsvolumen in Abschnitt 1 (A₁L₁) gleich dem Flüssigkeitsvolumen in Abschnitt 2 (A₂L₂ ) ist . Die von der Schwerkraft verrichtete Arbeit beträgt:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Das negative Vorzeichen ergibt sich daraus, dass die Flüssigkeit entgegen der Schwerkraft nach oben strömt. Die gesamte an der Flüssigkeit verrichtete Arbeit beträgt somit, wie in der obigen Abbildung dargestellt:
W = W₁ + W₂ + W₃
W = P₁A₁L₁ ‒ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‒ mgh₂
Der Arbeit-Energie-Satz besagt, dass die an einem System verrichtete Arbeit gleich der Änderung seiner kinetischen Energie ist. Daher können wir die Arbeit (W) durch die Änderung der kinetischen Energie (EK₂ ‒ EK₁ ) ersetzen.
Wir können die obige Gleichung wie folgt umschreiben:
W = P₁A₁L₁ ‒ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‒ mgh₂
EK 2 – EK 1 = P 1 A 1 L 1 – P 2 A 2 L 2 + mgh 1 – mgh 2
1/2 mv² ‒ 1/2 mv¹ 2 = P₁A₁L₁ ‒ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‒ mgh₂
Die Masse des Fluids, das eine Strecke L₁ durch den Querschnitt A₁ fließt, entspricht der Masse des Fluids , das eine Strecke L₂ durch den Querschnitt A₂ fließt . Eine Fluidmasse m hat ein Volumen von A₁L₁ und A₂L₂ , wobei A₁L₁ = A₂L₂ gilt ( L₂ ist länger als L₁ ).
Nun substituieren wir, oder wir ersetzen m in der obigen Gleichung durch m = ρ AL:
Dies ist die Bernoulli-Gleichung. Wir haben die Bernoulli-Gleichung auf der Grundlage des Arbeit-Energie-Prinzips hergeleitet; sie ist also eine Form des Energieerhaltungssatzes.
Information :
P = Druck
ρ = Dichte des Fluids
v = Strömungsgeschwindigkeit
g = Erdbeschleunigung
h = Höhe des Strömungsrohrs/Leitungsrohrs von der Erdoberfläche
Die linke und rechte Seite der obigen Bernoulli-Gleichung können sich auf beliebige zwei Punkte entlang des Strömungsrohrs beziehen, sodass wir die obige Gleichung wie folgt umschreiben können:
Diese Gleichung besagt, dass die Gesamtsumme der Größen in der Gleichung im gesamten Strömungsrohr denselben Wert hat.
Nun wollen wir die Bernoulli-Gleichung für einige Fälle überprüfen.
Bernoullis Gleichung für ruhende Flüssigkeiten
Ein Spezialfall der Bernoulli-Gleichung betrifft ruhende Flüssigkeiten (statische Flüssigkeiten). Eine ruhende Flüssigkeit besitzt keine Geschwindigkeit. Daher gilt v₁ = v₂ = 0. Im Fall einer ruhenden Flüssigkeit lässt sich die Bernoulli-Gleichung wie folgt formulieren:
Wenn h₂ ‒ h₁ = h, dann kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Bernoullis Gleichung für Strömungsrohre oder Leitungen gleicher Höhe
Wenn die Höhe des Strömungsrohrs gleich ist, ändert sich die Bernoulli-Gleichung zu:
