Material zur Kontinuitätsgleichung
Öffnen Sie den Wasserhahn langsam und beobachten Sie den Wasserfluss. Sobald er sich nicht mehr drehen lässt, halten Sie ihn teilweise mit der Hand zu. Vergleichen Sie nun, welcher Wasserfluss stärker ist: der teilweise zugehaltene und der ungehinderte. Wenn Sie einen Gartenschlauch haben, lassen Sie Wasser hindurchlaufen. Halten Sie den Schlauch teilweise mit der Hand oder einem Finger zu. Je größer der zugehaltene Teil des Schlauchs ist, desto schneller fließt das Wasser. Ist der Schlauch hingegen nicht zugehalten, fließt das Wasser langsamer. Warum ist das so? Um das zu verstehen, betrachten Sie bitte die Kontinuitätsgleichung.
Stromlinien und Strömungsrohre
Zunächst wollen wir die Konzepte von Stromlinien und Strömungsrohren verstehen. Dieses Konzept ist wichtig, da es Ihnen hilft, die Kontinuitätsgleichung zu verstehen.
Stromlinienförmig
Schauen Sie sich das Bild unten an, die blaue Linie ist die Stromlinie.
Bei stationärer Strömung bleibt die Geschwindigkeit jedes Fluidteilchens an einem Punkt, beispielsweise Punkt A, konstant. Beim Passieren von Punkt B kann sich die Geschwindigkeit der Fluidteilchen ändern. Beim Erreichen von Punkt B fließen die nachfolgenden Fluidteilchen jedoch weiterhin mit derselben Geschwindigkeit wie die ihnen vorausgehenden. Dasselbe gilt für das Erreichen von Punkt C usw. Die Stromlinie ist die Kurve, die die Punkte A, B und C verbindet.
Strömungsrohr
Im Prinzip können wir durch jeden Punkt der Strömung eine Stromlinie zeichnen. Bei einer stationären Strömung bilden mehrere Stromlinien, die unter einem bestimmten Winkel auf einer gedachten Fläche verlaufen, ein Strömungsrohr. Die Fluidpartikel schneiden sich nicht, sondern verlaufen stets parallel, und das Strömungsrohr ähnelt einem Rohr mit immer gleicher Form. Fluid, das an einem Ende des Rohrs eintritt, tritt am anderen Ende wieder aus.
Soll
Der Durchfluss gibt das Volumen einer Flüssigkeit an, die in einem bestimmten Zeitintervall durch einen bestimmten Querschnitt fließt. Mathematisch lässt er sich wie folgt ausdrücken:
Um das besser zu verstehen, betrachten wir ein Beispiel. Angenommen, eine Flüssigkeit fließt durch ein Rohr. Rohre sind üblicherweise zylindrisch und haben einen bestimmten Querschnitt. Das Rohr hat außerdem eine bestimmte Länge.
Wenn die Flüssigkeit durch das Rohr bis zur Länge L fließt, beträgt ihr Volumen V = AL (V = Flüssigkeitsvolumen, A = Querschnittsfläche und L = Rohrlänge). Da die Flüssigkeit während des Durchflusses durch das Rohr entlang der Länge L ein bestimmtes Zeitintervall durchläuft, lässt sich die Durchflussmenge wie folgt berechnen:
Da v = s/t = L/t —> L = vt, ändert sich die obige Gleichung zu:
Wenn also eine Flüssigkeit durch ein Rohr mit einer bestimmten Querschnittsfläche und Länge für ein bestimmtes Zeitintervall fließt, entspricht die Größe des Flüssigkeitsausstoßes (Q) der Querschnittsfläche (A) multipliziert mit der Strömungsgeschwindigkeit (v).
Kontinuitätsgleichung
Betrachten Sie die Strömung einer Flüssigkeit in einem Rohr mit unterschiedlichen Durchmessern, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.
Dieses Bild zeigt eine Flüssigkeitsströmung von links nach rechts (die Flüssigkeit strömt von einem Rohr mit großem Durchmesser zu einem Rohr mit kleinem Durchmesser). Die gestrichelten Linien stellen Stromlinien dar.
Bildunterschrift: A1 = Querschnittsfläche des Rohrabschnitts mit großem Durchmesser, A2 = Querschnittsfläche des Rohrabschnitts mit kleinem Durchmesser, v1 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Rohrabschnitt mit großem Durchmesser, v2 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Rohrabschnitt mit kleinem Durchmesser, L = vom Fluid zurückgelegte Strecke.
In der Einführung zur Fluiddynamik wurde erklärt, dass in der Fluiddynamik die Strömung inkompressibler, reibungsfreier, turbulenter und stationärer Fluide betrachtet wird. Bei einer stationären Strömung ist die Geschwindigkeit der Fluidteilchen an einem Punkt gleich der Geschwindigkeit aller Fluidteilchen, die diesen Punkt passieren. Die Fluidströme schneiden sich nicht (die Stromlinien verlaufen parallel). Daher muss die Masse des Fluids, das an einem Ende eines Rohrs eintritt, gleich der Masse des Fluids sein, das am anderen Ende austritt. Tritt ein Fluid mit einer bestimmten Masse in ein Rohr mit großem Durchmesser ein, so verlässt es das Rohr mit kleinem Durchmesser und behält dabei seine konstante Masse.
Schauen Sie sich nun das Bild des Rohrs oben an. Betrachten Sie den Teil des Rohrs mit dem großen Durchmesser und den Teil des Rohrs mit dem kleinen Durchmesser.
Während eines bestimmten Zeitintervalls fließt eine bestimmte Menge Flüssigkeit durch einen Rohrabschnitt mit großem Durchmesser (A).1) soweit L1 (L1 = v1 t). Das Volumen der durchfließenden Flüssigkeit beträgt V.1 = A1 L1 = A1 v1 t. Im gleichen Zeitintervall fließt eine andere Flüssigkeitsmenge durch einen Rohrabschnitt mit kleinerem Durchmesser (A).2) soweit L2 (L2 = v2 t). Das Volumen der durchfließenden Flüssigkeit beträgt V.2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide (inkompressibel)
Betrachten wir zunächst den Fall einer inkompressiblen Flüssigkeit. Bei einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Dichte bzw. Masse der Flüssigkeit an jedem Punkt, den sie durchströmt, stets gleich. Die Masse der Flüssigkeit, die durch ein Rohr mit der Querschnittsfläche A fließt, beträgt1 (großer Rohrdurchmesser) während eines bestimmten Zeitintervalls ist:
Ebenso ist die Masse der Flüssigkeit, die in einem Rohr mit der Querschnittsfläche A strömt, gleich der Masse der Flüssigkeit, die in einem Rohr mit der Querschnittsfläche A strömt.2 (kleiner Rohrdurchmesser) während eines bestimmten Zeitintervalls ist:
Unter der Annahme, dass bei stationärer Strömung die Masse des einströmenden Fluids gleich der Masse des ausströmenden Fluids ist, gilt Folgendes:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t (Die Flüssigkeitsdichte und das Zeitintervall sind gleich, daher heben sie sich auf)
A1 v1 = A2 v2
Bei inkompressiblen Fluiden gilt daher die Kontinuitätsgleichung:
A1 v1 = A2 v2 — Gleichung 1
Information :
A1 = Querschnittsfläche 1, A2 = Querschnittsfläche 2, v1 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Querschnitt 1, v2 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Querschnitt 2, A v = Volumenstrom V/t, auch bekannt als Durchfluss
Gleichung 1 zeigt, dass der Volumenstrom, auch Durchfluss genannt, an jedem Punkt eines Rohres oder Strömungsrohres konstant ist. Mit abnehmendem Rohrquerschnitt steigt der Volumenstrom; umgekehrt sinkt er mit zunehmendem Rohrquerschnitt.
Wenn wir den Wasserhahn nur teilweise öffnen, fließt das Wasser schneller als bei vollständig geschlossenem Wasserhahn. Das liegt daran, dass sich der Querschnitt des Wasserhahns bei teilweise geschlossenem Wasserhahn verringert, wodurch die Durchflussrate steigt (das Wasser fließt schneller). Dasselbe gilt für Gartenschläuche. Wichtig ist jedoch, dass die Durchflussmenge (Volumenstrom) entlang des gesamten Wasserflusses gleich bleibt, unabhängig davon, ob der Wasserhahn geöffnet oder geschlossen ist. Was sich also ändert, ist die Durchflussrate.
Wie verhält es sich also mit dem Wasserfluss in einem Fluss? Tiefere Flussabschnitte haben einen größeren Querschnitt als flachere, daher ist die Fließgeschwindigkeit in tieferen Abschnitten geringer. Ein sehr ruhiger Flusslauf deutet auf einen tiefen Fluss hin. Fließt der Fluss hingegen plötzlich reißend, ist dieser Abschnitt eindeutig flach. Der Wasservolumenstrom bleibt jedoch immer gleich, egal ob es sich um tiefe oder ruhige Flussabschnitte handelt.
Kontinuitätsgleichung für kompressible Fluide (komprimierbar)
Im Fall einer kompressiblen Flüssigkeit (komprimierbarDie Dichte eines Fluids ist nicht immer gleich. Anders ausgedrückt: Die Dichte eines Fluids ändert sich bei Kompression. Selbst wenn wir die Dichte des Fluids aus der Gleichung für ein inkompressibles Fluid eliminieren, ist sie in diesem Fall weiterhin enthalten. Mithilfe der zuvor hergeleiteten Gleichung leiten wir nun die Gleichung für ein kompressibles Fluid her.
Unter der Annahme, dass bei stationärer Strömung die Masse des einströmenden Fluids gleich der Masse des ausströmenden Fluids ist, gilt Folgendes:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Da das Zeitintervall des Flüssigkeitsflusses gleich ist, kann es vernachlässigt werden. Die Gleichung ändert sich zu:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Gleichung 2
Dies ist die Gleichung für eine kompressible Flüssigkeit. Der einzige Unterschied liegt in der Dichte der Flüssigkeit. Wird eine Flüssigkeit komprimiert, ändert sich ihre Dichte. Ist eine Flüssigkeit hingegen inkompressibel, bleibt ihre Dichte konstant und kann vernachlässigt werden.
Beispielfrage 1:
Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s durch ein Rohr mit einem Durchmesser von 10 cm. Wie groß ist der Wasserdurchfluss?
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Rohrdurchmesser = 10 cm (dies ist der Innendurchmesser des Rohrs)
Radius des Rohres (r) = 5 cm = 0,05 m
v Wasser = 2 m/s
Gefragt: Soll
Antwort:
Q = A v
Q = ( π r2) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m)2 (2m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m2)(2 m/s)
Q = 0,0157 m3 / S
Beispielfrage 2:
Ein Wasserrohr mit einem Durchmesser von 20 cm ist mit einem anderen Rohr mit einem Durchmesser von 10 cm verbunden. Wenn die Wasserdurchflussrate im Rohr mit 20 cm Durchmesser 4 m/s beträgt, wie hoch ist dann die Wasserdurchflussrate im Rohr mit 10 cm Durchmesser?
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Durchmesser 1 = 20 cm (r1 ( = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Durchmesser 2 = 10 cm (r2 ( = 5 cm = 0,05 m)
Gefragt: v1
Antwort:
Q1 = Q2
A1 v1 = A2 v2
(π r12) (4 m/s) = (π r22) (v2)
(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)
(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2)(v2)
(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
