Hookesches Gesetz und Elastizität – Probleme und Lösungen

Hookesches Gesetz und Elastizität – Probleme und Lösungen

Die Längenänderung

1. Ein Stab der Länge L wird durch eine Kraft F gezogen. Die Längenänderung beträgt ∆L. Wie groß ist die Kraft, wenn die Längenänderung 4∆L beträgt?

Bekannt:

Kraft 1 (F ₁ ) = F

Die Längenänderung 1 (∆L ₁ ) = ∆L

Die Längenänderung 2 (∆L ₂ ) = 4 ∆L

Gesucht: Force 2 (F ₂ )

Lösung:

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes

k = F / ΔL

k = Elastizitätskonstante, F = Kraft F, ΔL = Längenänderung

k ₁ = k ₂

F ₁ / ∆L ₁ = F ₂ / ∆L ₂

F / ΔL = F ₂ / 4ΔL

F / 1 = F ₂ / 4

F = F ₂ / 4

F ₂ = 4F

2. Die Federn sind, wie in der Abbildung unten dargestellt, in Reihe-Parallel-Schaltung geschaltet. Feder 1 hat eine Federkonstante von 200 N/m, Feder 2 hat eine Federkonstante von 200 N/m und Feder 3 hat eine Federkonstante von 200 N/m. Die Masse des Objekts beträgt 100 Gramm. Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft ist 10 m/s²Wie groß ist die Längenänderung von die äquivalent Frühling.

Bekannt:

Masse des Objekts (m) = 100 Gramm = 0.1 kg

k ₁ = k ₂ = k ₃ = 200 N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Gesucht: Die Längenänderung der entsprechenden Feder.

Lösung:

Bestimmen Sie das Äquivalent. Federkonstante:

Die Federn 2 (k₂ ₎ und 3 (k₃ ₎ sind parallel geschaltet. Die resultierende Federkonstante beträgt:

k _p = k ₂ + k ₃ = 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

Die Feder 1 (k₁ ₎ und die Feder p (kₚ ₎ sind in Reihe geschaltet. Die äquivalente Federkonstante:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

Die äquivalente Federkonstante beträgt 400/3 Nm ^-1

Bestimmen Sie die Längenänderung der Ersatzfeder :

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

∆x = F / k = w / k

Die Längenänderung der entsprechenden Feder :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Die Federkonstante

3. Wie lautet die Federkonstante gemäß den Daten in der folgenden Tabelle?

Lösung:

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

k = F / Δx

Federkonstante:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Drei Federn sind, wie in der Abbildung unten dargestellt, in Reihe-Parallel-Schaltung geschaltet. Die Federkonstanten betragen k₁ ₌ k₂ ₌ 3 Nm⁻¹ ^und k₃ ₌ 6 Nm⁻¹ ^. Wie groß ist die Federkonstante der Ersatzfeder?

Bekannt:

Federkonstante 1 (k ₁ ) = Federkonstante 2 (k ₂ ) = 3 Nm ⁻¹

Federkonstante 3 (k ₃ ) = 6 Nm ⁻¹

Gesucht: Federkonstante der Ersatzfeder (k)

Lösung:

Feder 1 (k₁ ₎ und Feder 2 (k₂ ₎ sind parallel geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder:

k _p = k ₁ + k ₂ = 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

Die Federn p (k_{_P} ) und 3 (k_₃ ) sind in Reihe geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder beträgt:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

Die Federkonstante beträgt 3 Nm ⁻¹.

5. Eine Feder der Länge L wird durch ein Gewicht w gedehnt. Wie groß ist die Federkonstante der Ersatzfeder gemäß den Daten in der folgenden Tabelle?

Lösung:

k = F / Δx

Federkonstante:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Welche Konstante hat die Ersatzfeder gemäß den Daten in der folgenden Tabelle?

Lösung:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = Elastizitätskonstante, w = Gewicht, m ​​= Masse, g = Erdbeschleunigung, Δx = Längenänderung

Federkonstante:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Wenn k ₁ = 4k, wie lautet die Federkonstante der Ersatzfeder?

Lösung:

Zwei Federn sind parallel geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder:

k _p = k + k = 2k

Zwei Federn sind in Reihe geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

k _s = 4k/3

8. Welche Konstante hat die Ersatzfeder gemäß den Daten in der folgenden Tabelle?

Lösung:

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

k = F / Δ L

Federkonstante:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Die kleinste Konstante ist…

Lösung

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

k = F / Δx

k = Elastizitätskonstante, F = Kraft, Δx = Längenänderung

Elastizitätskonstante:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k _B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k _D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Welche ist die größte Konstante gemäß den Daten in der folgenden Tabelle?

Lösung:

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

k _B = 8 / 0.025 = 320 Nm ^-1

k _C = 6 / 0.020 = 300 Nm ^-1

k _D = 9 / 0.045 = 200 Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

Die größte Konstante beträgt 320 Nm ^-1.

11. Die untenstehende Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Kraftänderung (ΔF) und der Längenzunahme (Δx). Welche Grafik zeigt die kleinste Elastizitätskonstante?

Lösung

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

k = F / Δx

Δx = Längenänderung, F = Kraft, k = Elastizitätskonstante

Elastizitätskonstante:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k _D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Welcher Graph h weist die größten elastischen Konstanten auf?

Lösung:

Elastizitätskonstante :​

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k _D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Die potenzielle Energie des Frühlings:

13. Die untenstehende Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung der Feder. Wie groß ist die potenzielle Energie der Feder gemäß der Grafik?

Bekannt:

F = 40 N.

x = 0.08 Meter

Gesucht : Die potenzielle Energie des Frühlings

Lösung:

Federkonstante:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Die potenzielle Energie des Frühlings:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joule

14. Ein 2 kg schwerer Block ist an einer Feder befestigt. Wenn die Längenzunahme der Feder 5 cm beträgt und die Erdbeschleunigung 10 m/s² ist ^, wie groß ist die potenzielle Energie der Feder?

Bekannt:

Die Längenzunahme (Δx) beträgt 5 cm = 0.05 Meter.

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Masse des Blocks (m) = 2 kg

Gewicht des Blocks (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Gesucht: die potenzielle Energie des Frühlings

Lösung:

Die Elastizitätskonstante:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Die potenzielle Energie des Frühlings:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 Joule

15. Eine Feder dehnt sich bei einer Zugkraft von 20 N um 5 cm aus. Wie groß ist die potenzielle Energie der Feder, wenn die Längenänderung 10 cm beträgt?

Bekannt:

Die Längenänderung (Δx) beträgt 5 cm = 0.05 Meter.

Kraft (F) = 20 Newton

Gesucht : Die potenzielle Energie des Frühlings

Lösung:

Die Federkonstante:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Die potenzielle Energie der Feder bei Δx = 10 cm = 0.1 m :

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 Joule

Gewicht des Objekts

16. Vier Federn mit einer Federkonstante von jeweils 800 N/m sind in Reihen-Parallel-Schaltung verbunden (siehe Abbildung). An jeder Feder hängt ein Block. Die Längenänderung aller Federn beträgt 5 cm. Wie groß ist das Gewicht des Blocks?

Bekannt:

k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 800 N m ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Gesucht: Gewicht des Blocks (w)

Lösung:

Bestimmen Sie die Federkonstante der Ersatzfeder.

Frühling 1 (k₁), Frühling 2 (k₂) und Frühling 3 (k₃) sind parallel geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder:

k _p = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

Die Federn p (k_{_P} ) und 4 (k_₄ ) sind in Reihe geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder beträgt:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

Die Federkonstante der Ersatzfeder beträgt 600 Nm ^-1

Bestimme das Gewicht des Objekts:

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

F = k Δx oder w = k Δx

Gewicht des Objekts:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newton

17. Vier Federn sind in Reihe-Parallel-Schaltung geschaltet. Die Federkonstante jeder Feder beträgt 1600 N/m. An jedem Federende ist ein Block befestigt (siehe Abbildung). Die Längenzunahme aller Federn beträgt 5 cm. Wie groß ist das Gewicht der Blöcke?

Bekannt:

k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 1600 N m ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Gesucht: Gewicht des Blocks

Lösung:

Bestimmen Sie die Federkonstante der Ersatzfeder.

Frühling 1 (k₁), Frühling 2 (k₂) und Frühling 3 (k₃) sind parallel geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder:

k _P = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ⁻¹

Die Federn p (k_{_P} ) und 4 (k_₄ ) sind in Reihe geschaltet. Die Federkonstante der Ersatzfeder beträgt:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

Die Federkonstante der Ersatzfeder beträgt 1200 Nm ^-1

Bestimme das Gewicht des Objekts:

Die Gleichung des Hookeschen Gesetzes:

F = k Δx oder w = k Δx

Gewicht des Objekts:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newton

1. Was ist das Hookesche Gesetz?
   • Antworten: Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der auf einen elastischen Körper wirkenden Kraft und der daraus resultierenden Verformung (üblicherweise Dehnung oder Stauchung). Genauer gesagt besagt es, dass die zum Stauchen oder Dehnen einer Feder benötigte Kraft direkt proportional zu ihrer Dehnung oder Stauchung ist, solange die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird.
2. Was bedeutet es, wenn wir sagen, dass ein Material seine Elastizitätsgrenze erreicht hat?
   • Antworten: Wenn ein Material seine Elastizitätsgrenze erreicht hat, bedeutet dies, dass es nach dem Wegfall der verformenden Kraft nicht mehr in seine ursprüngliche Form oder Größe zurückkehrt. Jenseits dieses Punktes verhält sich das Material plastisch und kann dauerhaft verformt werden.
3. In welchem ​​Zusammenhang steht die Federkonstante (k) mit der Steifigkeit einer Feder?
   • Antworten: Die Federkonstante (k) ist ein Maß für die Steifigkeit einer Feder. Ein größerer Wert von k bedeutet eine steifere Feder, d. h. es ist mehr Kraft erforderlich, um sie um einen bestimmten Betrag zu verformen, während ein kleinerer Wert von k eine nachgiebigere oder weichere Feder anzeigt.
4. Welche Einheiten hat die Federkonstante im SI-System?
   • Antworten: Im SI-System lautet die Einheit für die Federkonstante (k) Newton pro Meter (N/m).
5. Warum wird das durch das Hookesche Gesetz beschriebene Verhalten als linear betrachtet?
   • Antworten: Das Verhalten wird als linear betrachtet, da die Beziehung zwischen der aufgebrachten Kraft (F) und der Verschiebung (x) eine Gerade ist, die wie folgt gegeben ist: $F=kx$, wobei k eine Konstante für ein bestimmtes Material oder eine bestimmte Feder ist.
6. Gilt das Hookesche Gesetz nur für Federn?
   • Antworten: Nein, das Hookesche Gesetz gilt für jedes elastische Material, das sich bis zu seiner Elastizitätsgrenze linear mit der einwirkenden Kraft verformt. Federn sind ein gängiges Beispiel, aber auch andere Materialien wie Gummibänder, Metalle bei kleinen Verformungen und einige biologische Gewebe können ein durch das Hookesche Gesetz beschriebenes Verhalten zeigen.
7. Was passiert, wenn ein Material über seine Elastizitätsgrenze hinaus gedehnt wird, aber nicht so weit, dass es bricht?
   • Antworten: Wird ein Material über seine Elastizitätsgrenze hinaus gedehnt, aber nicht bis zum Bruch, erfährt es plastische Verformung. Das bedeutet, dass das Material nach dem Wegfall der Kraft nicht vollständig in seine ursprüngliche Form zurückkehrt und eine bleibende Verformung zurückbleibt.
8. In welchem ​​Zusammenhang stehen die Konzepte von Spannung und Beanspruchung mit dem Hookeschen Gesetz?
   • Antworten: Spannung ist die Kraft pro Flächeneinheit, und Dehnung ist die relative Verformung eines Materials. Das Hookesche Gesetz besagt, dass die Spannung direkt proportional zur Dehnung ist, wobei die Proportionalitätskonstante dem Elastizitätsmodul (Young-Modul) des Materials entspricht. Dies ist eine weitere Möglichkeit, den linearen Zusammenhang zwischen Kraft und Verformung auszudrücken, allerdings für massive Materialien und nicht nur für Federn.
9. Was ist der Elastizitätsmodul (Young-Modul) und in welchem ​​Zusammenhang steht er mit der Elastizität?
   • Antworten: Elastizitätsmodul, üblicherweise mit dem Buchstaben Young bezeichnet $E$Der Elastizitätsmodul (Young-Modul) ist ein Maß für die Steifigkeit eines Materials unter Zug- oder Druckbelastung. Er beschreibt dessen Fähigkeit, Verformungen unter Krafteinwirkung zu widerstehen. Ein höherer Elastizitätsmodul deutet auf ein steiferes Material hin und ist definiert als das Verhältnis von Spannung zu Dehnung.
10. Lassen sich alle Materialien durch das Hookesche Gesetz beschreiben?

• Antworten: Nein, nicht alle Materialien verhalten sich gemäß dem Hookeschen Gesetz. Viele Materialien, insbesondere nichtlineare, viskoelastische oder plastische, zeigen keinen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung. Das Hookesche Gesetz ist eine idealisierte Beschreibung und trifft am ehesten auf kleine Verformungen elastischer Materialien zu.