Der Energiegleichverteilungssatz wurde von Clerk Maxwell mithilfe der statistischen Mechanik theoretisch hergeleitet. Er wird als Satz bezeichnet, da es keinen experimentellen Beweis gibt. Energiegleichverteilung bedeutet die gleichmäßige Verteilung von Energie.
KE = durchschnittliche translatorische kinetische Energie der Gasteilchen (Joule)
k = Boltzmann-Konstante = 1.38 x 10 -23 J/K
T = absolute Temperatur des idealen Gasmoleküls (Kelvin)
Die translatorische kinetische Energie stammt aus der Translationsbewegung, die drei Geschwindigkeitskomponenten besitzt: die Geschwindigkeitskomponente entlang der x-, y- und z-Achse. Da diese Geschwindigkeit drei Komponenten hat, steht in der obigen Gleichung die Zahl 3. Jede Geschwindigkeitskomponente wird als Freiheitsgrad bezeichnet. Aufgrund der drei Geschwindigkeitskomponenten besitzt die translatorische kinetische Energie drei Freiheitsgrade.
Der Energiegleichverteilungssatz besagt, dass die tatsächliche Energie gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade verteilt sein muss. Daher beträgt die mittlere Energie für jeden Freiheitsgrad 1/2 kT.
einatomige Gasmoleküle
Einatomige Gasmoleküle führen ausschließlich Translationsbewegungen aus, sodass sie 3 Freiheitsgrade besitzen.
Die durchschnittliche kinetische Energie jedes einatomigen Gasmoleküls beträgt:
3 (1/2 kT) = 3/2 kT = 3/2 nRT.
Die Wärmekapazität einatomiger Gasmoleküle:
C = 3/2 R = 3/2 (8.315 J / mol·K) = 12.47 J/kg·K
Zweiatomige Gasmoleküle
Neben der Translationsbewegung führen zweiatomige Gasteilchen auch Rotations- und Schwingungsbewegungen aus. Die Translationsbewegung hat drei Freiheitsgrade. Wie viele Freiheitsgrade haben Rotations- und Schwingungsbewegungen?
Es gibt drei Rotationsachsen: die x-, y- und z-Achse. Eine Rotationsbewegung um die x-Achse ist irrelevant, da die beiden Atome mit der Rotationsachse übereinstimmen. Entspricht die Rotation der x-Achse, ist das Trägheitsmoment der beiden Atome gleich null. Somit beträgt die Anzahl der Freiheitsgrade für die Rotationsbewegung 2.
Die durchschnittliche Energie jedes zweiatomigen Gasmoleküls beträgt:
3 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) = 5/2 kT = 5/2 n R T.
Die Wärmekapazität zweiatomiger Gasmoleküle:
C = 5/2 R = 5/2 (8.315 J / mol·K) = 20.79 J / kg·K
Die theoretisch ermittelte molekulare Wärmekapazität ist größer als die experimentell ermittelte Wärmekapazität der zweiatomigen Gasmoleküle.
Bei Schwingungsbewegungen verfügen zweiatomige Gasmoleküle über zwei Energiearten: kinetische Energie und elastische potenzielle Energie. Daher beträgt die Anzahl der Freiheitsgrade für Schwingungsbewegungen 2.
Die durchschnittliche Energie jedes zweiatomigen Gasmoleküls beträgt:
3 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) = 7/2 kT = 7/2 n R T.
Die Wärmekapazität zweiatomiger Gasmoleküle:
C = 7/2 R = 7/2 (8,315 J / mol·K) = 29.1 J / kg·K
Der Einfluss der Schwingungsbewegung auf die Wärmekapazität zweiatomiger Gasmoleküle hängt auch vom Temperaturbereich (T) ab. Bisherige Experimente beschränkten sich auf einen relativ kleinen Temperaturbereich. Neuere Experimente, die in einem breiten Temperaturbereich durchgeführt wurden, zeigen jedoch, dass die Wärmekapazität der Gasmoleküle auch vom Temperaturbereich abhängt. Um dieses Problem besser zu verstehen, betrachten wir die Variation der Wärmekapazität von Wasserstoffmolekülen bei verschiedenen Temperaturen.
Wasserstoff (H₂Die Abbildung zeigt die Variation der Wärmekapazität von Wasserstoffmolekülen bei verschiedenen Temperaturen. Der Wert der molekularen Wärmekapazität von 5/2 R = 20.79 J/(kg·K) gilt nur im Temperaturbereich von etwa 250 K bis 750 K. Unterhalb von 250 K nimmt die Wärmekapazität der Wasserstoffmoleküle kontinuierlich ab, bis sie 3/2 R = 12.47 J/(kg·K) erreicht. Oberhalb von 750 K hingegen steigt die Wärmekapazität der Gasmoleküle periodisch an, bis sie 7/2 R = 29.1 J/(kg·K) erreicht.
Aufgrund dieser Tatsache lässt sich sagen, dass Gasteilchen bei niedrigen Temperaturen lediglich eine Translationsbewegung ausführen. Mit steigender Temperatur kommt eine Rotationsbewegung hinzu. Bei hohen Temperaturen stoßen die Gasteilchen miteinander und versetzen die Atome in Schwingung. Diese drei Bewegungsarten erfolgen also stufenweise: zunächst nur Translation (niedrige Temperatur), dann Translation und Rotation (mittlere Temperatur) und schließlich Translation, Rotation und Schwingung (hohe Temperatur). Schwingungen treten nur bei Kollisionen der Gasteilchen auf.
Solche Fälle treten nicht nur bei Wasserstoffgas auf, sondern auch bei anderen Gasen. Experimente von Wissenschaftlern zeigen, dass sich die Wärmekapazität von Gasmolekülen ebenfalls mit der Temperatur ändert. Die auftretenden Änderungen ähneln denen von Wasserstoffgas, doch da sich die Struktur der einzelnen Gase unterscheidet (Anzahl und Art der Atome sind unterschiedlich), treten die Änderungen der Wärmekapazität auch in unterschiedlichen Temperaturbereichen auf.
Der Energiegleichverteilungssatz besagt, dass die Gesamtenergie gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade verteilt werden muss. Die von den Gasteilchen zusätzlich aufgenommene Energie wird jedoch nicht gleichmäßig auf die einzelnen Freiheitsgrade verteilt, sondern erfolgt schrittweise. Darüber hinaus gilt die Gleichung für die molekulare Wärmekapazität des Gases, die wir theoretisch auf Grundlage der kinetischen Gastheorie hergeleitet haben,
Es wird behauptet, dass die Wärmekapazität des Moleküls ausschließlich von R abhängt (1/2 R pro Freiheitsgrad). Die molekulare Wärmekapazität wird auch von der Temperatur (T) beeinflusst.
Daraus lässt sich erstens schließen, dass der Energiegleichverteilungssatz aus der klassischen statistischen Mechanik abgeleitet ist, welche auf den Gesetzen der Newtonschen Mechanik basiert. Zweitens basiert auch die kinetische Gastheorie, die wir zur Erklärung der Bewegung von Gasteilchen verwenden, auf den Gesetzen der Newtonschen Mechanik. Da der Energiegleichverteilungssatz und die kinetische Gastheorie verletzt wurden, kann man schlussfolgern, dass die Newtonschen Gesetze der Mechanik die Bewegungen auf atomarer oder molekularer Ebene nicht erklären können. Anders ausgedrückt: Die Newtonsche oder klassische Mechanik kann nur die Bewegung größerer Materie beschreiben.
