Erhaltung der mechanischen Energie – Probleme und Lösungen
1. Ein m kg schwerer Block wird von der Spitze einer glatten schiefen Ebene losgelassen , wie in der Abbildung unten dargestellt. Der Vergleich zwischen der potenziellen Energie und der kinetischen Energie des Blocks im Punkt M ist…
Lösung
Gravitationspotenzielle Energie im Punkt M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Kinetische Energie im Punkt M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mgh : 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1: 2
2. Ein Eisläufer gleitet aus der Höhe A, wie in der Abbildung unten dargestellt. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit 0 beträgt und die Erdbeschleunigung 10 m/ s² ist , wie groß ist dann die Geschwindigkeit des Läufers im Punkt B?
Bekannt:
Anfangsgeschwindigkeit (v o ) = 0
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Die Höhenänderung beträgt 50 Meter – 10 Meter = 40 Meter.
Gesucht: Geschwindigkeit des Skifahrers an Punkt B
Lösung:
Der Grundsatz der Erhaltung der mechanischen Energie besagt, dass die anfängliche mechanische Energie gleich der endgültigen mechanischen Energie ist.
Die anfängliche mechanische Energie entspricht der potenziellen Energie am Punkt B (Höhe = 40 Meter).
Die endgültige mechanische Energie entspricht der kinetischen Energie im Punkt B.
Die endgültige mechanische Energie entspricht der anfänglichen mechanischen Energie.
½ mv t 2 = mgh
½ v t 2 = gh
½ v t 2 = (10)(50-10)
½ v t 2 = (10)(40)
½ v t 2 = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
3. Ein Objekt gleitet von einem Punkt A aus ohne Anfangsgeschwindigkeit. Welche Geschwindigkeit hat das Objekt am tiefsten Punkt, wenn keine Reibungskraft wirkt?
Bekannt:
Masse des Objekts = m
Anfangsgeschwindigkeit (v o ) = 0
Höhe (h) = 20 Meter
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gesucht: Endgeschwindigkeit (v t )
Lösung:
Anfangsenergie (ME₁ ) = Gravitationspotenzielle Energie im Punkt A (PEₐ ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Endgültige mechanische Energie (ME 2 ) = kinetische Energie (KE) = ½ mv t 2
Die Geschwindigkeit des Objekts am tiefsten Punkt (v t ) ?
Wendet man den Grundsatz der Erhaltung der mechanischen Energie an, so besagt dieser, dass die anfängliche mechanische Energie gleich der endgültigen mechanischen Energie ist.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv t 2
200 = ½ v t 2
400 = v t 2
v t = 20 m/s
4. Eine 2 kg schwere Kugel fällt frei von Punkt A (siehe Abbildung unten; g = 10 m/ s² ). Nach dem Erreichen von Punkt B beträgt ihre kinetische Energie das Doppelte ihrer potenziellen Energie. Wie hoch befindet sich Punkt B über der Erdoberfläche?
Bekannt:
Masse der Kugel (m) = 2 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m /s²
Höhe des Punktes A (h A ) = 90 Meter
Gesucht: Höhe des Punktes B (h B )
Lösung:
Beim Erreichen des Punktes B beträgt die kinetische Energie des Balls im Punkt B das Doppelte seiner potenziellen Energie im Punkt B.
EK = 2 EP
½ mv² = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 h B
Geschwindigkeit (v) des Balls beim Erreichen des Punktes B nach freiem Fall vom Punkt A:
v² = 2gh = 2(10)(90–hB ) = 20(90– hB )
Ersetze v 2 in der obigen Gleichung durch v 2 in dieser Gleichung.
v 2 = 40 h B
20(90–h B ) = 40 h B
18:00–20:00 Uhr B = 40:00 Uhr B
1800 = 40 h B + 20 h B
1800 = 60 h B
h B = 1800 / 60
h B = 30 Meter
5. Eine 1 kg schwere Kugel wird losgelassen und gleitet, wie in der Abbildung unten dargestellt, von Punkt A nach Punkt C. Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ s² beträgt , wie groß ist die kinetische Energie der Kugel, wenn sie Punkt C erreicht?
Bekannt:
Masse der Kugel (m) = 1 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Die Höhenänderung (h) beträgt 0.75 m.
Die anfängliche potenzielle Energie (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 Joule
Anfangskinetische Energie (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Die endgültige potenzielle Energie (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Gesucht: Kinetische Energie des Balls im Punkt C
Lösung:
Die anfängliche mechanische Energie (ME o ) = Die endgültige mechanische Energie (ME t )
Die anfängliche potenzielle Energie (PE o ) + die anfängliche kinetische Energie (KE o ) = Die endgültige potenzielle Energie (PE t ) + die endgültige kinetische Energie (KE t )
7.5 Joule + 0 = 0 + KE t
7.5 Joule = KE t
Die kinetische Energie des Balls im Punkt C beträgt 7.5 Joule.
6. Eine 2 kg schwere Kugel wird, wie in der Abbildung unten dargestellt, von Punkt A losgelassen. Die Kurve ist glatt. Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ s² beträgt , wie groß ist die kinetische Energie der Kugel in Punkt B?
Bekannt:
Masse der Kugel (m) = 2 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Die Höhenänderung (h) beträgt 120 cm = 1.2 Meter.
Die anfängliche potenzielle Energie (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 Joule
Die anfängliche kinetische Energie (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Die endgültige potenzielle Energie (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Gesucht: Kinetische Energie des Balls im Punkt B
Lösung:
Die mechanische Energie im Punkt A (anfängliche mechanische Energie) entspricht der mechanischen Energie im Punkt B (endgültige mechanische Energie).
Die anfängliche mechanische Energie (ME o ) = die endgültige mechanische Energie (ME t )
Die anfängliche potenzielle Energie (PE o ) + die anfängliche kinetische Energie (KE o ) = die endgültige potenzielle Energie (PE t ) + die endgültige kinetische Energie (KE t )
24 Joule + 0 = 0 + KE t
24 Joule = KE t
Kinetische Energie (KE) des Balls im Punkt C = 24 Joule.
7. Ein Objekt besitzt eine feste mechanische Energie, eine größere kinetische Energie und eine geringere potenzielle Energie im Gravitationsfeld. Das Objekt ist…
A. Im Ruhezustand
B. sich nach oben bewegen
C. sich nach unten bewegen
D. Beschleunigt nach oben
Lösung:
Die kinetische Energie nimmt zu, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Objekts zunimmt, während die potenzielle Energie abnimmt, was bedeutet, dass der Abstand des Objekts zur Bodenoberfläche abnimmt. Dies geschieht, wenn sich das Objekt aus einer bestimmten Höhe auf den Boden bewegt.
Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie wird durch die Formel für die kinetische Energie dargestellt:
KE = ½ mv²
Formelbeschreibung: KE = kinetische Energie, m = Masse, v = Geschwindigkeit
Der Zusammenhang zwischen Höhe und potenzieller Energie wird durch die Formel für die potenzielle Energie dargestellt:
PE = mgh
Formelbeschreibung: PE = potenzielle Energie im Gravitationsfeld, m = Masse, g = Erdbeschleunigung, h = Höhe
Die richtige Antwort ist C.
- Was ist mechanische Energie?
- Antworten: Mechanische Energie ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eines Objekts. Kinetische Energie beschreibt die Bewegung eines Objekts, während potenzielle Energie seine Position oder Konfiguration beschreibt.
- Was besagt der Grundsatz der Erhaltung der mechanischen Energie?
- Antworten: Das Prinzip besagt, dass in einem abgeschlossenen System, in dem ausschließlich konservative Kräfte wirken, die gesamte mechanische Energie konstant bleibt. Das bedeutet, dass sich die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie mit der Zeit nicht ändert.
- Wie beeinflussen konservative und nicht-konservative Kräfte die Erhaltung der mechanischen Energie?
- Antworten: Konservative Kräfte wie die Schwerkraft verändern die Gesamtenergie eines Systems nicht. Sie können zwar potenzielle Energie in kinetische Energie umwandeln oder umgekehrt, die Gesamtenergie bleibt jedoch konstant. Nicht-konservative Kräfte wie die Reibung können mechanische Energie dissipieren und sie typischerweise in Wärmeenergie umwandeln.
- Warum bleibt die mechanische Energie in realen Szenarien mit Reibung nicht erhalten?
- Antworten: Reibung ist eine nicht-konservative Kraft. Wenn sich Objekte aufeinander zubewegen, wandelt die Reibung einen Teil der mechanischen Energie des Systems in thermische Energie um, was zu einer Verringerung der gesamten mechanischen Energie des Systems führt.
- Wie lässt sich die Erhaltung der mechanischen Energie an einem schwingenden Pendel demonstrieren?
- Antworten: Ohne Luftwiderstand (eine nicht-konservative Kraft) wandelt sich die kinetische Energie eines Pendels beim Aufwärtsschwingen in potenzielle Energie um. Am höchsten Punkt seiner Schwingung besitzt es maximale potenzielle und minimale kinetische Energie. Beim Abwärtsschwingen wird diese potenzielle Energie wieder in kinetische Energie umgewandelt. Die gesamte mechanische Energie bleibt konstant, obwohl sich die Energieformen umwandeln.
- Warum kommt ein springender Ball irgendwann zur Ruhe, selbst wenn keine äußeren Kräfte einwirken?
- Antworten: Wenn ein Ball aufprallt, wird nicht seine gesamte kinetische Energie wieder in potenzielle Energie umgewandelt. Ein Teil der Energie geht verloren, oft in Form von Schall oder Verformung des Balls, insbesondere aber durch innere Reibung im Material des Balls. Hierbei wirken nicht-konservative Kräfte, die die mechanische Energie des Balls mit jedem Aufprall verringern, bis er schließlich zur Ruhe kommt.
- Wo liegt bei einer Achterbahn die höchste und wo die niedrigste mechanische Energie?
- Antworten: Die gesamte mechanische Energie der Achterbahn bleibt konstant, wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt. Am höchsten Punkt ist die potenzielle Energie jedoch maximal, während die kinetische Energie minimal ist. Beim Abstieg wandelt sich die potenzielle Energie in kinetische Energie um, sodass am tiefsten Punkt die kinetische Energie maximal und die potenzielle Energie minimal ist.
- Wie trägt die Erhaltung der mechanischen Energie zum Verständnis von Planetenbahnen bei?
- Antworten: Planeten, die einen Stern wie die Sonne umkreisen, besitzen sowohl kinetische Energie (aufgrund ihrer Bewegung) als auch potenzielle Energie (aufgrund ihrer Position relativ zur Sonne). Nähert sich ein Planet der Sonne, beschleunigt er, wodurch seine kinetische Energie zunimmt, während seine potenzielle Energie abnimmt – und umgekehrt. Die gesamte mechanische Energie des Planeten bleibt über die Zeit konstant, vorausgesetzt, andere Kräfte (beispielsweise von anderen Planeten) sind vernachlässigbar.
- Warum stürzt ein Satellit in einer stabilen Umlaufbahn nicht auf die Erde?
- Antworten: Obwohl der Satellit aufgrund der Schwerkraft zur Erde gezogen wird, hält ihn seine Vorwärtskinetik in seiner Umlaufbahn in Bewegung. Das Gleichgewicht zwischen dieser kinetischen und der potenziellen Energie sorgt dafür, dass sich der Satellit in einer stabilen Umlaufbahn mit konstanter mechanischer Energie befindet.
- Wenn eine Skifahrerin aus dem Stand am Gipfel eines reibungsfreien Hügels startet und dann hinunterfährt, wie verhält sich ihre Geschwindigkeit unten zu der Geschwindigkeit, die sie auf halbem Weg den Hügel hinunter erreicht hätte?
- Antworten: Auf einem reibungsfreien Hang bleibt die gesamte mechanische Energie der Skifahrerin erhalten. Startet sie ganz oben, verfügt sie über mehr potenzielle Energie als wenn sie auf halber Höhe startet. Diese potenzielle Energie wandelt sich während der Abfahrt vollständig in kinetische Energie um. Daher ist sie unten schneller, wenn sie oben startet, als wenn sie auf halber Höhe startet.
