Artikel über die Addition von Vektoren
1. Vektor- und Skalargrößen
Neben den fundamentalen und abgeleiteten Größen lassen sich physikalische Größen in zwei weitere Typen unterteilen: Skalare und Vektorgrößen. Größen wie Masse, Entfernung, Zeit und Volumen sind Skalare – sie besitzen nur einen Betrag, aber keine Richtung. Vektorgrößen hingegen sind Größen wie Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft – sie besitzen sowohl einen Betrag als auch eine Richtung.
a. Unterschied zwischen skalarer und vektorieller Größe
Wenn man sagt, die Masse eines Balls betrage 400 Gramm, genügt diese Aussage, um die Masse des Balls zu bestimmen. Man benötigt keine Richtungsangabe, um die Masse des Balls zu ermitteln. Dasselbe gilt für Zeit, Temperatur, Volumen, Dichte usw. Es gibt einige physikalische Größen, die nicht allein durch ihren Betrag ausgedrückt werden können. Wenn man sagt, ein Kind bewege sich 100 Meter weit, reicht diese Aussage nicht aus. Man könnte fragen: Wohin bewegt es sich? Nach Norden, Süden, Osten oder Westen? Ebenso verhält es sich, wenn man sagt, man schiebe den Tisch mit einer Kraft von 200 N.
Wohin fährst du? Solche Größen nennt man Vektorgrößen. Sie erfordern eine Erklärung ihrer Größe und Richtung. Beispiele für Vektorgrößen sind Verschiebung, Beschleunigung, Impuls, Drehimpuls usw. Du kannst dies besser verstehen, wenn du dich mit Themen beschäftigst, die mit diesen Größen zusammenhängen.
b. Zeichne einen Vektor
Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt. Der Pfeil zeigt stets in Richtung des Vektors. Die Länge des Pfeils entspricht der Stärke des Vektors. Beispielsweise zeigt die Abbildung einen Kraftvektor (F) mit einer Stärke von 2 N, dessen Richtung nach Nordosten bzw. 45 ° um die x-Achse verläuft.
c. Regeln zum Schreiben von Vektorgrößen
Bei der handschriftlichen Darstellung eines Vektors wird das Vektorsymbol üblicherweise kursiv in Großbuchstaben geschrieben und mit einem Pfeil darüber versehen. In gedruckten Büchern werden Vektorsymbole fett gedruckt, zum Beispiel F. Die Länge eines Vektors wird handschriftlich als |F| angegeben, in gedruckten Büchern kursiv, zum Beispiel F.
2. Vektoraddition – grafische Methoden
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Vektoren grafisch zu addieren, darunter die Methode „Schwanz an Spitze“ und die Parallelogrammmethode.
a. Methode der Vektoraddition von Ende zu Spitze
Die Vektoren A und B sind bekannt. Vektor A = 3 cm fällt mit der x-Achse zusammen (Richtung Osten). Vektor B = 2 cm bildet einen Winkel von 30 ° mit der x-Achse (Richtung Nordosten). Addieren Sie A und B grafisch mithilfe der Methode „Aneinanderreihen von Anfangs- und Endpunkt“. a) R = A + B b) R = A – B
Die Länge des resultierenden Vektors (R) wird mit einem Lineal gemessen. Die Richtung des resultierenden Vektors wird mit einem Winkelmesser gemessen.
Gegeben sind die Vektoren A, B und C. Vektor A = 3 cm verläuft entlang der x-Achse (Richtung Osten). Vektor B = 2 cm bildet einen Winkel von 30 ° mit der x-Achse (Richtung Nordosten). Vektor C = 1 cm bildet einen Winkel von 60 ° mit der x-Achse (Richtung Nordosten). Addieren Sie A, B und C grafisch mithilfe der Methode „Aneinanderreihen“.
a) R = A + B + C
b) R = A – B – C
Der resultierende Vektor (R) wird mit einem Lineal gemessen. Die Richtung des resultierenden Vektors wird mit einem Winkelmesser bestimmt.
b. Parallelogrammmethode
Gegeben sind die Vektoren A, B und C. Vektor A = 3 cm verläuft entlang der x-Achse (Richtung Osten). Vektor B = 2 cm schließt einen Winkel von 30 ° mit der x-Achse ein (Richtung Nordosten). Vektor C = 1 cm schließt einen Winkel von 60 ° mit der x-Achse ein (Richtung Nordosten). Addiere A, B und C grafisch mithilfe eines Parallelogramms.
a) R = A + B
b) R = A – B
c) R = A + B + C
d) R = A – B – C
Der resultierende Vektor (R) wird mit einem Lineal gemessen. Die Richtung des resultierenden Vektors wird mit einem Winkelmesser bestimmt.
3. Vektoraddition – aanalytische Methode
Eine Möglichkeit besteht darin, Betrag und Richtung des resultierenden Vektors grafisch zu bestimmen. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt von Ihrer Genauigkeit beim Zeichnen und Ablesen der Skala ab. Betrag und Richtung des resultierenden Vektors lassen sich präziser durch mathematische Berechnungen ermitteln.
a. Berechnung der Summe zweier Vektoren mithilfe des Kosinussatzes
Die Formel zur Bestimmung der Länge des resultierenden Vektors:
Die Formel zur Bestimmung der Richtung des resultierenden Vektors:
C = resultierender Vektor
A = Vektor 1
B = Vektor 2
cos ∠(A, B) = Winkel, der von den Vektoren A und B gebildet wird
Beispielaufgabe 1:
F 1 = 2 N bildet einen Winkel von 30° um die x-Achse, F 2 = 3 N bildet einen Winkel von 60 ° um die x-Achse, θ = 30 °.
Beispielaufgabe 2:
F 1 = 2 N fällt mit der x-Achse zusammen, F 2 = 3 N bildet einen Winkel von 90 ° um die x-Achse, θ = 90 °.
b. Addition von Vektoren nach Komponenten
Betrachten wir einen Vektor F, der einen bestimmten Winkel mit der x-Achse bildet, wie in der Abbildung unten dargestellt. F<sub> x</sub> und F<sub> y</sub> sind die Komponentenvektoren des Vektors F.
Die Größe des Komponentenvektors wird mithilfe der folgenden Formel bestimmt:
F x = F cos θ
F y = F sin θ
Betrachten Sie die beiden Vektoren F1 und F2 die einen bestimmten Winkel mit der x-Achse bildet, wie in der Abbildung unten dargestellt. F1x und F1y sind Komponenten des Vektors F1, also F2x und F2y sind Komponenten des Vektors F2.
Der Komponentenvektor wird mithilfe der folgenden Formel bestimmt:
F1x = F1 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
F 2x = F 2 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
Hinzufügen der Komponentenvektoren:
F x = F 1x + F 2x
F y = F 1y + F 2y
Der resultierende Vektor wird mithilfe der folgenden Formel bestimmt:
Die Richtung des resultierenden Vektors wird mithilfe der folgenden Formel bestimmt:
Beispielaufgabe 1:
Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors F, dessen Betrag 20 N beträgt und der einen Winkel von 30 ° mit der x-Achse bildet.
F x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
Beispielaufgabe 2:
Zwei Kräfte F₁ = 20 N bilden einen Winkel von 30 ° mit der x-Achse, und F₂ = 15 N bildet einen Winkel von 180° mit der x-Achse. Bestimmen Sie Betrag und Richtung des resultierenden Vektors.
F 1x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F 2x = F 1 = – 15 N
F 1y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
F 2y = 0
Hinzufügen der Komponentenvektoren:
F x = F 1x – F 2x = 17 N – 15 N = 2 N
F y = 10 N
Der resultierende Vektor:
F² = Fx² + Fy² = 2² + 10² = 4 + 100 = 104
F = 10.2 N.
Richtung des resultierenden Vektors:
θ = tan −15 = 78.7 ° um die x-Achse
Beispielaufgabe 3:
F1, F2, und F3 sind 20 N, 30 N und 40 N. F1 bildet einen Winkel von 60o um die x-Achse, F2 bildet einen Winkel von 150o um die x-Achse und F3 bildet einen Winkel von 315o um die x-Achse. Bestimmen Sie Betrag und Richtung des resultierenden Vektors.
F 1x = (20 N)(cos 60 o ) = 10 N
F 1y = (20 N)(sin 60 o ) = 17 N
F 2x = (30 N)(cos 30 o ) = -26 N
F 2y = (30 N)(sin 30 o ) = 15 N
F 3x = (40 N)(cos 45 o ) = 28 N
F 3y = (40 N)(sin 45 o ) = -28 N
Hinzufügen des Komponentenvektors:
F x = F 1x – F 2x + F 3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N
Resultierender Vektor:
F² = Fx² + Fy² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160
F = 13 N.
Richtung des resultierenden Vektors:
θ = tan −1 0.3 = 17 ° um die x-Achse
