Arbeit konservativer Kräfte Potenzielle Energie
Betrachten wir einen Gegenstand, der sich senkrecht nach oben bewegt und nach Erreichen einer maximalen Höhe wieder in seine Ausgangsposition zurückkehrt. Während der Aufwärtsbewegung verrichtet das Gewicht des Gegenstands negative Arbeit. Mit zunehmender Höhe des Gegenstands steigt auch seine potenzielle Energie. Daraus lässt sich schließen, dass die vom Gewicht verrichtete negative Arbeit der Zunahme der potenziellen Energie des Gegenstands entspricht.
W = – mgh
W = – mg (h₂ – h₁ ) = – (PE₂ – PE₁ ) = -ΔPE
Bewegt sich ein Objekt senkrecht nach unten, verrichtet die Gravitationskraft positive Arbeit an ihm. Dadurch verringert sich seine Höhe und somit auch seine potenzielle Energie. Die von der Gravitationskraft verrichtete Arbeit entspricht also der Abnahme seiner potenziellen Energie.
W = mgh
W = mg (h₁ – h₂ ) = mgh₁ – mgh₂ = – (mgh₂ – mgh₁ ) = – (PE₂ – PE₁ ) = -ΔPE
Betrachten wir einen Gegenstand, der zusammen mit dem Ende einer Feder nach links gedrückt wird (siehe Abbildung 3). Bewegt sich der Gegenstand nach links, verrichtet die Federkraft negative Arbeit am Gegenstand. Dadurch erhöht sich die Auslenkung der Feder und somit auch ihre potenzielle Energie. Die von der Feder verrichtete negative Arbeit entspricht also der Zunahme der potenziellen Energie. Bewegt sich der Gegenstand nach rechts, verrichtet die Federkraft positive Arbeit am Gegenstand. Dadurch verringert sich die Auslenkung der Feder und somit auch ihre potenzielle Energie. Die von der Feder am Gegenstand verrichtete positive Arbeit entspricht also der Abnahme der potenziellen Energie der Feder.
Gemäß der obigen Erklärung entspricht die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit der Änderung der potenziellen Energie des Objekts. Verrichtet eine konservative Kraft positive Arbeit, verringert sich die potenzielle Energie. Verrichtet sie hingegen negative Arbeit, erhöht sich die potenzielle Energie. Daher entspricht die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit der negativen Änderung der potenziellen Energie.
W c = -ΔPE
Beispielaufgabe 6: Arbeit einer konservativen Kraft und potenzielle Energie
Ein Objekt mit einer Masse von 1 kg befindet sich in einer Höhe von 5 Metern über dem Boden. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Bestimmen Sie (a) die Arbeit, die von der Masse verrichtet wird, wenn das Objekt auf eine Höhe von 10 Metern über dem Boden angehoben wird, (b) die Arbeit, die erforderlich ist, um das Objekt auf eine Höhe von 10 Metern anzuheben, und (c) die Änderung der potenziellen Energie des Objekts, wenn es auf eine Höhe von 10 Metern angehoben wird.
Diskussion:
Identifiziert: m = 1 kg, g = 10 m/ s² ,
(a) Arbeit nach Gewicht
W = – mg Δh
= – (1 kg)(10 m/s² ) (5 m) = – 50 Joule
Das Gewicht verrichtet negative Arbeit, weil die Richtung des Gewichts der Richtung der Verschiebung des Objekts entgegengesetzt ist.
(Das Gewicht wirkt nach unten, die Verschiebung des Objekts nach oben.)
b) Arbeit der Auftriebskraft
Damit der Gegenstand angehoben werden kann, muss die minimale Hubkraft dem Gewicht entsprechen.
= (1 kg)(10 m/s² ) (5 m) = 50 Joule
W = wh = mg Δh
Die von der Auftriebskraft verrichtete Arbeit ist positiv, da die Kraftrichtung mit der Verschiebung übereinstimmt.
(Die Auftriebskraft wirkt nach oben, die Verschiebung ebenfalls nach oben)
(c) Änderung der potenziellen Energie
ΔPE = mg Δh
ΔPE = 50 Joule
Die potenzielle Energie des Objekts erhöht sich um 50 Joule.
20 konzeptionelle Fragen und Antworten zur Arbeit konservativer Kräfte und zur potenziellen Energie:
1. Frage: Was sind konservative Kräfte? Antwort: Konservative Kräfte sind Kräfte, bei denen die verrichtete Arbeit unabhängig vom eingeschlagenen Weg ist.
2. Frage: In welchem Verhältnis steht die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit zur Änderung der potenziellen Energie? Antwort: Die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit entspricht der negativen Änderung der potenziellen Energie.
3. Frage: Nennen Sie ein gängiges Beispiel für eine konservative Kraft. Antwort: Die Gravitationskraft ist ein gängiges Beispiel für eine konservative Kraft.
4. Frage: Warum wird Reibung nicht als konservative Kraft betrachtet? Antwort: Weil die von der Reibung verrichtete Arbeit vom zurückgelegten Weg abhängt.
5. Frage: Wie wird die potenzielle Energie eines Objekts in der Nähe der Erdoberfläche ausgedrückt? Antwort: Die potenzielle Energie wird ausgedrückt als h , wobei m die Masse, g die Erdbeschleunigung und h die Höhe über einem Bezugspunkt ist.
6. Frage: Kann potenzielle Energie jemals negativ sein? Antwort: Ja, potenzielle Energie kann negativ sein, abhängig von der Wahl des Bezugspunktes.
8. Frage: Was geschieht mit der kinetischen Energie eines Systems, wenn dessen potenzielle Energie zunimmt, vorausgesetzt, es wird keine äußere Arbeit verrichtet? Antwort: Die kinetische Energie nimmt um denselben Betrag ab, um den die potenzielle Energie zunimmt, wodurch der Energieerhaltungssatz erhalten bleibt.
9. Frage: Welche Bedingungen müssen für die Erhaltung der mechanischen Energie erfüllt sein? Antwort: Die mechanische Energie bleibt erhalten, wenn auf ein System nur konservative Kräfte wirken.
10. Frage: Was lässt sich in einem geschlossenen System, in dem nur konservative Kräfte wirken, über die gesamte mechanische Energie aussagen? Antwort: Die gesamte mechanische Energie bleibt konstant.
11. Frage: Wie wird die potenzielle Energie einer elektrischen Ladung in einem elektrischen Feld bestimmt? Antwort: Die potenzielle Energie , wobei q die Ladung und V das Potenzial ist.
12. Frage: Warum erhöht sich die potenzielle Energie eines Objekts, wenn es in einem Gravitationsfeld angehoben wird? Antwort: Weil Arbeit entgegen der Gravitationskraft verrichtet wird, um das Objekt anzuheben. Diese Arbeit wird als potenzielle Energie gespeichert.
13. Frage: Wie verrichtet eine konservative Kraft Arbeit in einem geschlossenen Kreislauf? Antwort: Die von einer konservativen Kraft in einem geschlossenen Kreislauf verrichtete Nettoarbeit ist null.
14. Frage: In welchem Zusammenhang steht die potenzielle Energie mit der Stabilität? Antwort: An Punkten, an denen die potenzielle Energie minimal ist, ist das System stabil.
15. Frage: Können zwei Objekte in unterschiedlichen Höhen die gleiche potenzielle Energie besitzen? Antwort: Ja, das ist möglich, abhängig von der Wahl des Bezugsniveaus für die potenzielle Energie.
16. Frage: Warum wählen wir oft den Boden als Bezugspunkt für die potenzielle Gravitationsenergie? Antwort: Er bietet einen praktischen und allgemein verständlichen Bezugspunkt, obwohl jeder beliebige Punkt gewählt werden kann.
17. Frage: In einem abgeschlossenen System mit ausschließlich konservativen Kräften: Wenn die potenzielle Energie um 10 J abnimmt, um wie viel ändert sich die kinetische Energie? Antwort: Die kinetische Energie nimmt um 10 J zu.
18. Frage: In welchem Zusammenhang steht die potenzielle Energie mit der Kraft in konservativen Feldern? Antwort: Die Kraft ist der negative Gradient der potenziellen Energie.
19. Frage: Wie ändert sich die potenzielle Energie eines Objekts, wenn es in Richtung einer konservativen Kraft bewegt wird? Antwort: Seine potenzielle Energie nimmt ab.
20. Frage: Kann ein Objekt kinetische Energie, aber keine potenzielle Energie besitzen? Antwort: Ja, das hängt von der Wahl des Bezugspunkts für die potenzielle Energie ab.
Diese Fragen und Antworten behandeln grundlegende Konzepte über konservative Kräfte und potenzielle Energie, die einen integralen Bestandteil der klassischen Mechanik bilden.
